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【种花家务·代数】2-1-06列出方程来解应用题『数理化自学丛书6677版』

2023-11-10 13:42 作者:山嵓  | 我要投稿

【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』,此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版,并于1977年正式再版的基础自学教材,本系列丛书共包含17本,层次大致相当于如今的初高中水平,其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材,很多概念已经与如今迥异,因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外,黑字是教材原文,彩字是我写的注解。

【山话嵓语】我在原有“自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教甲种本《微积分初步》,原因有二:一则,我是双鱼座,有一定程度的偶双症,但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠,因此就需要加入一本代数,使两边能够对偶平衡;二则,我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要,以我的惨痛教训为例,大一高数第一堂课,我是直接蒙圈,学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识,因此我所读院校的大学物理课是推迟开课;而比较生猛的大学则是直接开课,然后在绪论课中猛灌基础高数(例如田光善舒幼生老师的力学课)。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》,就是希望小伙伴升大学前可以看看,不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。

第一章一元一次方程和可以化为一元一次方程的分式方程 

§1-6列出方程来解应用题

【01】上一节里,我们已经学过一元一次方程的解法,现在应用解方程的方法来解决一些实际问题。我们看下面的例子:

例1.某数的 2 倍减去 1 等于这个数加上 5,求某数。

【分析】现在要求某数,我们就用字母 x 表示这个某数,那末,某数的 2 倍就是 2x;某数的 2 倍减去 1 就是 2x-1;这个数加上 5 就是 x+5  。再根据已知条件“某数的 2 倍减去 1 等于这个数加上 5” 这个相等关系,就可以列成等式:2x-1=x+5  。解这个方程,求得 x 的值,就是某数。

【解】设某数是 x  。那末某数的 2 倍是 2x,某数的 2 倍减去 1 是 2x-1;这个数加上 5 是 x+5  。

        因为某数的 2 倍减去 1 等于这个数加上 5,所以根据这个相等关系,可以列出一个方程:2x-1=x+5  。

        解这个方程,2x-x=5+1,∴ x=6  。

【检验】某数的 2 倍减去 1 是 11,某数加上 5 是 11,恰巧相等,所以 x=6 是本题的解。

        答:某数是 6  。

【注意1】解应用题,最后必须写出答语。

【注意2】为了检验解题有没有错误,可以把求得的结果根据题意加以验算,看是否正确。

【02】从这里可以看出,用代数方法来解应用问题有这样一个方便,就是,如果用字母表示了问题中要求的量,那末根据所给的条件(就是题中的数量关系),可以写出与要求的量有关的一些代数式;再根据一个相等关系,就可以列出一个等式。

例2.某班级学生合买一样纪念品,每人出 6 分,可以多 4 角 8 分;如果每人出 5 分,就不够 3 分。求这班级学生的人数。

【解】设这班级学生共有 x 人。

        因为每人出 6 分,可以多 4 角 8 分,所以纪念品的价格是 (6x-48) 分;

        因为每人出 5 分,不够 3 分,所以纪念品的价格也是 (5x+3) 分。

        因为这样纪念品的价格是一定的,两种计算方法应该相等,所以 6x-48=5x+3  。

        解这个方程,6x-5x=3+48,∴ x=51  。

【检验】每人出 6 分,那末纪念品的价格是 51×6-48=258分,就是 2.58 元;每人出 5 分,那末纪念品的价格是 51×6+3=258分,就是 2.58 元,恰好相等。所以 x=51 是本题的解。

        答:这班级学生共有 51 人。

【说明】本题中计算纪念品价格时有两种单位,必须化成同一单位。这里为了计算方便起见,避免出现小数,都化成分,得到整数。

例3.有两个汽车运输队,第一队有汽车 90 辆,第二队有汽车 40 辆。现在两队有同样的运输任务,从第一队调多少辆汽车到第二队,两队汽车的辆数相等?

【解】设需要从第一队调 x 辆汽车到第二队。

        第一队原来有 90 辆,调出 x 辆到第二队后,还剩 (90-x) 辆;

        第二队原来有 40 辆,从第一队调来 x 辆后,就有 (40+x) 辆。

        因为经过调动后,两队汽车的辆数相等,所以 90-x=40+x  。

        解这个方程,-2x=-50,2x=50,∴ x=25  。

【检验】第一队调出 25 辆,还剩 90-25=65 辆;第二队调进 25 辆,就有 40+25=65 辆,恰好相等。

        答:从第一队调 25 辆汽车到第二队,两队汽车的辆数相等。

【说明】检验可以用心算,不必详细写出来。但是即使不要求写出,心算的检验还是十分必要的。

习题1-6(1)

1、如果从 33 里减去一个数的 2 倍就得到 7,求这个数。【13】

2、某数的 5 倍减去 5 等于这个数的 4 倍,求某数。【5】

3、一个数的 8 倍加上 10 等于它的 10 倍减去 8,求这个数。【9】

4、某数的 3 倍减去 9 等于它的 1/3 加上 6,求某数。 【5又5/8】

5、某数与 4 的和的平方等于某数与 6 的差的平方,求某数。【1】

6、一个数与 4 的平方和等于这个数与 2 的和的平方,求这个数。【3】

7、某机器制造厂,今年平均每月生产抽水机 80 台,比去年平均每月产量的 1.5 倍少 13 台。去年平均每月生产多少台?【62台】

8、一块长方形场地的周围共长 180 米。已知这块场地的宽是 40 米,求这块场地的长。【50米】

9、甲工厂有某种原料 120 吨,乙工厂有同样原料 96 吨,现在每天甲厂用原料 15 吨,乙厂用原料 9 吨,多少天以后,两厂剩下的原料相等?【4天】

10、甲水槽里有水 34 升,乙水槽里有水 8 升,现在向两个水槽里灌的水,都是每分钟 2 升,多少分钟以后,甲槽里的水是乙槽里的水的 3 倍?【2.5分钟】

11、甲仓存粮 32 吨,乙仓存粮 57 吨。甲仓每天存入 4 吨,乙仓每天存入 9 吨。几天以后,乙仓的存粮是甲仓的 2 倍?【7天】

例4.一队学生,参加学农,用每小时 4 公里的速度步行前去。出发 20 分钟后,学校有紧要事情需告诉队长。通讯员骑自行车用每小时 14 公里的速度追上去,通讯员要多少小时才能追上学生队伍?

【解】设通讯员追上学生队伍需要 x 小时。那末,通讯员每小时走 14 公里,x 小时共走 14x 公里;学生队伍每小时走 4 公里,一共走了%5Cscriptsize%5Cleft(%5Cfrac%7B20%7D%7B60%7D%2Bx%5Cright)小时,走了%5Cscriptsize4%5Cleft(%5Cfrac%7B20%7D%7B60%7D%2Bx%5Cright)公里。

        因为追上学生队伍的时候,通讯员所走的路程和学生队伍所走的路程相等,所以%5Cscriptsize14x%3D4%5Cleft(%5Cfrac%7B20%7D%7B60%7D%2Bx%5Cright)  。

        解这个方程,%5Cscriptsize7x%3D%5Cfrac23%2B2x%2C%5Cquad5x%3D%5Cfrac23%2C%5Cquad%5Ctherefore%5Cquad%20x%3D%5Cfrac2%7B15%7D  。

        答:通讯员需要 2/15 小时,就是 8 分钟才能追上学生队伍。

【说明1】本题中,步行的速度与自行车的速度都是每小时若干公里,而已知的时间却是 20 分钟,所以解题时必须化成同一单位。因此,把 20 分钟化成 20/60 小时。

【说明2】为了清楚地看出题中的数量关系,利用图来表示(图1·1),可以帮助我们分析理解,列出方程,这是分析应用题时一种常用的方法。

例5.一块农田要整地,由甲小队独做,3 小时可以完成,乙小队独做 6 小时可以完成,两小队合做,几小时可以完成?

【解】设两小队合做 x 小时完成。

        甲小队独做,3 小时完成全部工作,那末每小时做全部工作的 1/3,所以 x 小时做了全部工作的 (1/3)x;

        乙小队独做,6 小时完成全部工作,那末每小时做全部工作的 1/6,所以 x 小时做了全部工作的 (1/6)x  。

        因为两小队合做 x 小时,全部工作完成,所以%5Cscriptsize%5Cfrac13x%2B%5Cfrac16x%3D1  。

        解这个方程,2x+x=6,3x=6,∴ x=2  。

        答:两小队合做,2小时完成。

【说明】全部工作是一件完整的工程,看做是 1  。因此,甲小队每小时做了全部工作的 1/3,以后类似这样的工程问题,都可以把全部工程作为 1  。

例6.有两个宣传队,第一队有 32 个人,第二队有 19 个人。能不能从第一队调几个人到第二队,使两队的人数相等?

【解】设从第一队调 x 个人到第二队。那末,

        第一队调出 x 个人后,还剩 (32-x) 人;

        第二队调来 x 个人后,就有 (19+x) 人。

        因为经过调动后,两队人数相等,所以 32-x=19+x  。

        解这个方程,-2x=-13,∴ x=13/2=6又1/2  。

        验算后,知道 6又1/2 是所列方程的解。

        但是人数不可能是分数,现在 x=6又1/2 就不符合实际意义。因此,x=6又1/2 虽然是所列出的方程的解,而对实际问题讲,就没有意义,所以这个应用题没有解。也就是说,不论从第一队调多少人到第二队,两队的人数总不会相等。

【04】通过这个例题,我们可以理解到:列出方程来解应用题的时候,从方程所求得的解不一定都符合应用题的要求,我们必须根据实际意义来判定这个应用题有解还是没有解。

【05】列方程解应用题,应该检查求得的未知数的值是不是合理,如果合理,就写出答语,如果不合理,就说明应用题没有解。

【06】从上面所讲的六个例子,我们可以看到,列出一元一次方程来解应用题的一般步骤是:

        (ⅰ) 仔细看清题意,看哪些是已知数,哪些是未知数,它们之间有什么关系。

        (ⅱ) 选择一个适当的未知数,用字母 x(也可以用其他字母)来表示它。根据题目里所说的已知数与未知数之间的关系,用 x 的代数式来表示其他的未知数。

        (ⅲ) 利用(ⅱ)中没有用过的等量关系,列出方程。

        (ⅳ)解所得的方程,求出未知数的值,并且进行验算。

        (ⅴ)根据方程的根,得出题目里所求的未知数的值,并且检查求得的值是不是合理,如果合理,就写出答语,如果不合理,就说明应用题没有解。

习题1-6(2)

1、一条街长 1670 米,甲、乙两个学生从街的两头同时相向而行,甲骑自行车每小时走 21 公里,乙步行,经过 4 分钟后两人相遇,求乙每小时步行多少公里。【4.05公里】

2、有一架飞机,最多能在空中连续飞行 4 小时,飞出时候的速度是每小时 600 公里,飞回时候的速度是每小时 550 公里,这架飞机最远飞出多少公里就应该飞回来?【1147又19/23公里】

3、两辆卡车装运棉花从产地开往仓库。第一辆卡车的速度是每小时 40 公里,开出半小时后,第二辆卡车也从产地开出,它的速度是每小时 50 公里,结果两车同时到达仓库。求产地和仓库间的距离。【100公里】

4、有甲、乙两个整数,甲数比乙数的 3 倍多 1,已知甲数是 26,乙数是多少?[提示:注意甲、乙两数都是整数;如果求出的结果不是整数,应该仔细考虑]【无解】

5、初中一年级甲、乙两班,甲班有 44 人,乙班有 49 人。在劳动时,为了使两班人数相等,乙班应该调多少人到甲班去?【无解】

6、一个正数的 3 倍加上 16 等于 4  。求这个正数。[提示:注意这个数是正数]【无解】

7、一件工程,甲队单独做 10 天可以完成,乙队单独做 15 天可以完成,两队合做,多少天可以完成?【6天】

8、某工厂在上半年增产 168 万元,超过原定增产计划的 2/5  。这个工厂上半年计划增产多少元?[提示:本题应该用万元为单位,这样可使计算简便]【120万元】

9、有一个数,减去它的 1/2 与 1/5 之后,剩下的数是 90  。求这个数。【300】

10、某池塘用三合抽水机抽水,单用第一台抽水机,3 天就可以全部抽完,单用第二台抽水机,就需要 4 天,单用第三台抽水机,需要 6 天。如果三台同时用,几天可以全部抽完?[提示三合抽水机单独使用,每天分别抽去全池塘的 1/3,1/4,1/6]【1又1/3天】

11、一人骑自行车从甲人民公社去乙人民公社联系工作,工作 1 小时,然后步行回甲社,他来回连工作共花 5 小时,自行车每小时走 12 公里,步行每小时走 5 公里,问甲人民公社距乙人民公社几公里?【14又2/17公里】

【07】上面几个应用题里,所求的未知数都只有一个,所以设这个未知数后,就可以列出方程来。如果应用题里所求的未知数有两个或者多于两个,那末怎样设一个未知数,使得仍能列出一元一次方程呢?下面我们举例来说明。

例7.两个数的和是 8,它们的差是 2,求这两个数。

【解】设较大的数是 x,那末由于两个数的和是 8,所以较小的数是 8-x  。

        再根据题意,“它们的差是2”,可以得到 x-(8-x)=2  。

        解这个方程,2x=10,∴ x=5  。

        较小的数是 8-x,将所得的 x 值代入,得 8-x=8-5=3  。

        答:这两个数是 5 与 3  。

【注】

        这个问题也可以设较小的数是 x,那末较大的数是 8-x,再利用差的关系,可以得到 (8-x)-x=2  。

        解这个方程,同样可以求得两个数是 5 与 3  。

        还可以设较大的数是 x,利用差的关系,那末较小的数是 x-2  。再利用和的关系列方程,得 x+(x-2)=8  。

        也可以设较小的数是 x,利用差的关系,那末较大的数是 x+2  。再利用和的关系列方程,得(x+2)+x=8  。

        解这两个方程,都可以求得两个数是 5 与 3  。

【08】从上面这个例子,我们可以看到:列一元方程来解应用题,如果题目中所求的未知数多于一个,则可用一个字母表示其中任何一个未知数,根据题中的条件,用这个字母的代数式来表示其他的未知数,然后,再根据题中的另外条件,列出方程。

例8.汽车若千辆装运货物一批。每辆装 3.5 吨,这批货物就有 2 吨不能运走;每辆装 4 吨,那末装完这批货物后,还可以装其他货物 1 吨。汽车有多少辆?这批货物有多少吨?

【解】设汽车有 x 辆。

        按每辆装 3.5 吨计算,x 辆汽车能装 3.5x 吨货物,这批货物就是 (3.5x+2) 吨;如果按每辆装 4 吨计算,x 辆汽车可以装 4x 吨,但是装了其他货物 1 吨,所以这批货物就是 (4x-1) 吨。

        因为 3.5x+2 和 4x-1 都表示这批货物的吨数,应该相等的,所以 3.5x+2=4x-1  。

        解这个方程,-0.5x=-3,∴ x=6  。

        代入 4x-1,得 4x-1=24-1=23  。

        答:汽车有 6 辆,这批货物有 23 吨。

【注】也可以设这批货物有 x 吨。那末,如果按每辆装 3.5 吨计算,汽车就有 (x-2)/3.5 辆;如果按每辆装 4 吨计算,汽车就有 (x+1)/4 辆。所以列出方程是 (x-2)/3.5=(x+1)/4  。虽然这应用题的解是一样的,但是这样列方程比较麻烦,解这个方程比较复杂,计算的时候也比较困难。

【09】从这个例子,我们可以看到:利用一元方程解应用题的时候,如果题目中的未知数多于一个,用字母表示哪一个未知数,就要看列方程是否容易,列出的方程是否简单,计算的时候是否简便来决定。

例9.地球上水面的面积约等于陆地面积的 2又13/29 倍;地球的表面积约等于 5.1 亿平方公里,求地球上水面和陆地的面积各是多少。

【解】设地球上陆地的面积是 x 平方公里.那末,水面的面积是 %5Cscriptsize2%5Cfrac%7B13%7D%7B92%7Dx 平方公里,陆地和水面的总面积是%5Cscriptsize%5Cleft(x%2B2%5Cfrac%7B13%7D%7B29%7Dx%5Cright)平方公里。

        因为陆地和水面的总面积就是地球的表面积 510000000 平方公里,所以%5Cscriptsize%20x%2B2%5Cfrac%7B13%7D%7B29%7Dx%3D510000000%2C%5Cquad%5Cfrac%7B100%7D%7B29%7Dx%3D510000000%2C%5Cquad%5Ctherefore%20x%3D147900000  。

        那末 %5Cscriptsize%202%5Cfrac%7B13%7D%7B29%7Dx%3D362100000  。

        答:地球上水面面积是 362100000 平方公里,约 3.6 亿平方公里;陆地面积是 147900000 平方公里,约 1.5 亿平方公里。

【注】这个问题中,如果我们设水面面积是 x 平方公里,那末陆地面积就是 %5Cscriptsize%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%5Cfrac%7B13%7D%7B29%7D%7D 平方公里,这样列出的方程是%5Cscriptsize%20x%2B%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%5Cfrac%7B13%7D%7B29%7D%7D%3D510000000  。但是列出这个方程和解这个方程就都比较麻烦。

习题1-6(3)

1、甲、乙两数的和是 10,甲数的 2 倍等于乙数的 3 倍,求这两个数。【6,4】

2、买甲、乙两种笔记本共 20 本,共用 4.8 元。甲种本每本 0.3 元,乙种本每本 0.2 元,两种笔记本各买了多少?【甲种8本,乙种12本】

3、某班师生自制教具,一共做得数学和物理教具 144 件,其中数学教具是物理教具的 1/2,问数学和物理教具各有多少件?【数学教具48件,物理教具96件】

4、

(1) 某幼儿园买大小凳子 16 张,一共 44 元。大的每张 5 元,小的每张 2 元,大小凳子各买多少张?【大凳4张,小凳12张】

(2) 买大小凳子 15 张,一共 44 元。大的每张 5 元,小的每张 2 元,大小凳子各买多少张?【无解】

5、长江比黄河长 955 公里,长江和黄河共长 10645 公里,长江和黄河各长多少公里?【长江5800公里,黄河4845公里】

6、某果园原种有桃树和李树共 25 棵。现在计划再种桃树 9 棵,李树 5 棵,那末桃树就比李树多 17 棵。原来桃树和李树各有多少棵?【桃树19棵,李树6棵】

7、第一个正方形的边长比第二个多 10 厘米,它的面积比第二个多 400 平方厘米,两个正方形的边长各是多少?【25厘米,15厘米】

8、煤油连桶重 8 公斤,从桶中用去了一半煤油以后,连桶重 4.5 公斤。煤油和空桶各重多少公斤?【煤油7公斤,桶1公斤】

9.、在 155 米的长度内装设 25 根水管,一部分水管每根长 5 米,另一部分每根长 8 米,两种水管各要多少根?【15根,10根】

10、有货物一批,共重 39 吨,由载重 6 吨和 7.5 吨的驳船一次运走,已知载重 6 吨比载重 7.5 吨的驳船多 2 只,两种驳船各有多少只?【6吨船4只,7.5吨船2只】

11、用化肥若干斤给一块麦田追肥,每亩用 6 斤,还差 17 斤,每亩用 5 斤,就多 3 斤。这块麦田有多少亩?用化肥多少斤?【20亩,103斤】

12、一个工人接到加工一批零件的任务,要求在规定时间内完成。他打算每小时做 10 个,就可以超过任务 3 个,每小时做 11 个,就可以提前 1 小时完成。他加工的零件是多少个?规定多少小时完成?【77个,8小时】

13、三个数的平均数是 8.6  。其中第一个数是 9.1,第二个数比第一个数小 0.8,求第三个数。【8.4】

14、用两架掘土机掘土,第一架掘土机比第二架掘土机每小时多掘土 40 立方米。第一架工作 16 小时,第二架工作 24 小时,共掘土 8640 立方米。每架掘土机每小时可以掘土多少?【240立方米,200立方米】

15、两个水池共贮水 30 吨,现在甲池用去水 8 吨,乙池注进水 10 吨,这样,甲池的水就比乙池的水少 12 吨。原来两个水池各有水多少吨?【甲池18吨,乙池12吨】

16、一辆汽车在第一次旅程中用去油箱里汽油的 1/4,在第二次旅程中用去余下的汽油的 1/5,这样油箱里还剩汽油 6 升,油箱里原来有汽油多少升?【10升】

17、一条铁丝,第一次用去了它的一半少 1 米,第二次用去了剩下的一半多 1 米,结果还剩 2.5 米。这条铁丝原有多少长?【12米】

例10.甲、乙两车站相距 159 公里。一列慢车以每小时 36 公里的速度从甲站开往乙站。出发后 1 小时,一列快车以每小时 46 公里的速度从乙站开往甲站。快车开出几小时后才与慢车相遇?

【解】设快车开出 x 小时后与慢车相遇。那末快车从开出到与慢车相遇走了 46x 公里;慢车从开出到与快车相遇共走了 (1+x) 小时,所以它共走了 36(1+x) 公里。

        因为两列车子相向而行,到相遇时它们所走的路程的和就是甲、乙两车站间的距离(图1·2),所以 46x+36(1+x)=159  。解这个方程,46 x+36+36 x=159,82 x=123,∴ x=1.5  。

        答:快车开出 1.5 小时后与慢车相遇。

例11.某体育场的一条环行跑道长 400 米,甲练习长跑,平均每分钟跑 250 米,乙练习自行车,平均每分钟走 550 米。两人同时从同地同向出发,经过多少分钟后两人又相遇?

【解】设经过 x 分钟后两人又相遇。那末两人相遇时,甲走了 250x 米,乙走了 550x 米。

        因为两人从出发后到再相遇,乙必须比甲多走一圈的路程(图1·3),就是乙比甲多走 400 米。这就是说,乙所走的路程比甲所走的路程多 400 米,所以 550x-250x=400  。

        解这个方程,300x=400,∴ x=4/3=1又1/3  。

        答:经过 1又1/3 分钟后两人又相遇。

习题1-6(4)

1、甲、乙两人骑自行车,同时从相距 45 公里的两地相向而行,2 小时后相遇。已知甲比乙每小时多走 2.5 公里,甲、乙两人每小时各走多少公里? 【甲12.5公里,乙10公里】

2、甲、乙两人练习短距离赛跑,甲每秒钟跑 7 米,乙每秒钟跑 6.5 米。

(1)如果甲让乙先跑 5 米,几秒钟后可以追及乙?【10秒】

(2)如果甲让乙先跑 1 秒钟,几秒钟后可以追及乙?【13秒】

3、某市举行环城自行车竞赛,最快的人在出发后 35 分钟遇到最慢的人。已知最慢的人的速度是最快的人的速度的 5/7,环城一周是 6 公里,两人的速度各是多少?【(3/5)公里/分,(3/7)公里/分】

4、甲、乙两个运动员在田径场竞走,环跑道一周是 400 米,乙的速度平均每分钟 80 米,甲的速度是乙的 1又1/4,现在甲在乙的前面 100米,多少分钟以后两人才能相遇?【15分钟】

5、一个通讯员骑自行车在规定时间内把信件送到某地.他每小时走 15 公里,可以早到 24 分钟;如果每小时走 12 公里,就要迟到 15 分钟.原定的时间是多少?他去某地的路程有多远?【3小时,39公里】

6、工人甲接到做 120 个零件的任务,工作 1 小时后,因为要提前完成,调来工人乙与甲合作,再做 3 小时就完成。已知乙每小时比甲能多做 5 个零件,求甲、乙两工人每小时各做多少个零件。【甲15个,乙20个】

例12.某化学实验室有两种不同浓度的酒精,甲种的浓度是 90%,乙种的浓度是 76%  。现在要配成浓度是 85% 的酒精 12 升,两种酒精应该各取多少升?

【解】设甲种酒精取 x 升,那末乙种酒精取 (12-x) 升。

        在 x 升浓度是 90% 的酒精里,含有纯酒精即 (90/100)x 升;

        在 (12-x) 升浓度是 75% 的酒精里,含有纯酒精 (75/100)(12-x) 升;

        在12升 浓度是 85% 的酒精星,含有纯酒 (85/100)×12 升。

        因为甲、乙两种酒精里所含纯酒精的总量,应该等于浓度是 85% 的 12 升酒精里所含纯酒精的量,所以%5Cscriptsize%5Cfrac%7B90%7D%7B100%7Dx%2B%5Cfrac%7B75%7D%7B100%7D(12-x)%3D%5Cfrac%7B85%7D%7B100%7D%5Ctimes12  。

        解这个方程,90x+900-75x=1020,15x-120,∴ x=8  。

        代入12-x,得 12-x=12-8=4  。

        答:甲种酒精应取 8 升,乙种酒精应取 4 升。

习题1-6(5)

1、有含盐 20% 的盐水 150 公斤,要使盐水含盐 5%,需要加水多少公斤?【450公斤】

2、有 700 克含碘 15% 的碘酒(碘溶解在酒精里就成碘酒),应该加入多少克纯酒精,才能得到含碘 2% 的碘酒?【4550克】

3、有含药 85% 的农药 5 斤,应该加入多少斤水,才能配成含药 2% 的农药?【207.5斤】

4、有银和铜的合金 200 克,其中含银 2 份,含铜 3 份。现在要改变合金的成分,使它成为含银 3 份,含铜 7 份,应该再加入铜多少?[提示合银 2 份,含铜 3 份,就是合金里 2/5 是银,3/5 是铜]【66又2/3克】

5、某数学学习小组原来女同学的人数占全组人数的 1/3,后来加入了 4 个女同学,女同学的人数就占全组人数的 1/2,问该小组原来有多少个同学?【12人】

6、有两种合金,第一种含金 90%,第二种含金 80%  。现在要制成含金 82.5% 的合金 240 克,应该每种各取多少克?【第一种60克,第二种180克】

7、甲种铁矿石含铁的百分数是乙种铁矿石含铁的百分数的 1.5 倍。甲种矿石 5 份与乙种矿石 3 份混合成的矿石含铁 52.5%,求各种矿石含铁的百分数。【甲种60%,乙种40%】

8、金放在水里称,要减轻本身重量的 1/19,银放在水里称,要减轻本身重量的 1/10,一块金和银的合金重 530 克,在水里称减轻重量 35 克。这块合金里含有金和银各多少克?【金380克,银150克】

例13.一艘轮船在甲、乙两地之间航行,顺流行驶需要 4 小时,逆流行驶需要 5 小时,已知水流的速度是每小时 2 公里,求两地之间的距离。

【分析】要解这个题目,首先要理解顺流里航行的速度,逆流里航行的速度,静水里航行的速度和水流的速度之间的关系。就是说,顺流里航行的速度是静水里航行的速度加上水流的速度,逆流里航行的速度是静水里航行的速度减去水流的速度。现在用两种方法来解这个题目。

【解1】设甲、乙两地之间的距离是 x 公里。那末:

        顺流里的速度是每小时 x/4 公里,已知水流的速度是每小时 2 公里,所以静水里的速度是每小时%5Cscriptsize%5Cleft(%5Cfrac%7Bx%7D%7B4%7D-2%5Cright)公里;

        逆流里的速度是每小时 x/5 公里,水流速度是每小时 2 公里,所以静水里的速度是每小时%5Cscriptsize%5Cleft(%5Cfrac%7Bx%7D%7B5%7D-2%5Cright)公里。

        因为静水里的速度是相同的,所以%5Cscriptsize%5Cfrac%7Bx%7D%7B4%7D-2%3D%5Cfrac%7Bx%7D%7B5%7D%2B2  。5x-40=4x+40,∴ x=80  。

        答:甲、乙两地之间的距离是 80 公里。

【解2】设轮船在静水里航行的速度是每小时 x 公里。那末:

        顺流里航行的速度是每小时 (x+2) 公里;

        逆流里航行的速度是每小时 (x-2) 公里;

        顺流航行 4 小时,共走 4(x+2) 公里;

        逆流航行 5 小时,共走 5(x-2) 公里。

        因为甲、乙两地之间的距离是一定的,所以 4(x+2)=5(x-2)  。

        4x+8=5x-10,-x=-18,∴ x=18  。

        用 x=18 代入4(x+2),得 4(x+2)=4×20=80  。

        答:甲、乙两地之间的距离是 80 公里。

【10】从这个例子的两种解法,我们可以看到:在列方程解应用题时,有时不直接设 x 表示题中所要求的未知数,而可间接设 x 表示题中另外一个未知数,通过这个未知数的值再求出题中所要求的结果。应用这种方法,有时比较容易列出方程,解出结果来。

例14.一个两位数,它的十位上的数比个位上的数小 3,十位上的数与个位上的数的和等于这个两位数的 1/4,求这个两位数。

【解】设十位上的数是 x,那末,个位上的数是 x+3,这个两位数是 10x+(x+3),十位上的数与个位上的数的和是 x+(x+3)  。

        根据题意,得 %5Cscriptsize%20x%2B(x%2B3)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%5Cleft%5B10x%2B(x%2B3)%5Cright%5D  。

        解这个方程,%5Cscriptsize2x%2B3%3D%5Cfrac14(11x%2B3),8x+12=11x+3,-3x=-9,∴ x=3  。

        代入 x+3,得 x+3=3+3=6  。

        答:这个两位数是 36  。

【说明】用代数式表示两位数要特别注意。例如,两位数 54,实际上表示 5×10+4,因为十位上的数 1,就表示 10,2 表示 20 等等。一般地说,如果十位上的数是 a,个位上的数是 b,那末这个两位数是 10a+b,不能写成 ab 的形式。因为代数式 ab 只表示 a 与 b 的乘积,它和 10a+b 所表示的意义是绝然不同的。决不能因为两位数 54 写成 “54” 的形式而产生误会。同样,如果有一个三位数,它的百位上的数是 x,十位上的数是 y,个位上的数是 z,那末,这个三位数应该写成 100x+10y+z  。

【11】在这个问题里,如果直接设所求的两位数是 x,显然,就不好列式。因此,我们才设十位上的数是 x  。本题也可以设个位上的数是 x,解法由读者自行完成。

例15.已知长方形的周长是 30 厘米,长比宽多 3 厘米,求这长方形的面积。

【分析】这个题目,如果用 x 来表示长方形的面积,列式就比较困难。但是我们知道,如果知道了长方形的长和宽,就可以计算出它的面积,所以可以设长方形的宽是 x 厘米。

【解】设长方形的宽是 x 厘米,那末它的长是 (x+3) 厘米。

        因为长方形的周长等于 2[x+(x+3)] 厘米,所以 2[x+(x+3)]=30  。

        解这个方程,2x+3=15,2x=12,∴ x=6  。

        所以 x+3=9  ,x(x+3)=6×9=54  。

        答:长方形的面积是 54 平方厘米。

【说明】要注意面积单位和长度单位的写法。例如,本题的面积应该用“平方厘米”表示,不要错误地写成“厘米”。

例16.一个爱国卫生检查工作组共有成员 30 人,根据任务的大小,要分成三个小队,使甲、乙、丙三小队的人数的比是 2:3:5,求各小队的人数。

【分析】这个题目要求三个未知数;如果我们用字母 x 来表示其中一个小队的人数,用 x 的代数式来表示其余两小队的人数,就比较麻烦。我们知道,2:3:5 是从甲小队人数:乙小队人数:丙小队人数中约去三个小队人数的最大公约数得到的,所以我们可以用 x 表示这个最大公约数。这样,三个小队的人数就分别是 2x,3x,5x,那末列方程就比较容易了。

【解】设三个小队人数的最大公约数是 x  。那末,甲队有 2x 人,乙队有 3x 人,丙队有 5x 人。

        因为全组的人数是 30 人,所以 2x+3x+5x=30  。

        解这个方程,10x=30,∴ x=3  。

        所以 2x=6;3x=9;5x=15  。

        答:甲队有 6 人,乙队有 9 人,丙队有 15 人。

习题1-6(6)

1、一艘轮船,航行于甲、乙两地之间,顺水要 3 小时,逆水要 3.5 小时,已知轮船在静水里航行的速度是每小时 26 公里,求水流的速度。【2公里/时】

2、三个连续整数的和是 15,它们的积是多少?[提示:象 2,3,4 或者 7,8,9 等就是三个连续整数。连续整数的特点是相邻两个数的差等于 1]【120】

3、一个两位数的十位上的数是个位上的数的 2 倍,如果把十位上的数和个位上的数对调,那末得到的数就比原数小 36  。求原来的两位数  。【84】

4、一个三位数,个位上的数,十位上的数与百位上的数的和是 15,百位上的数比十位上的数多 5,个位上的数是十位上的数的 3 倍。求这个三位数。【726】

5、三个连续偶数的和比其中最大的一个大 10,这三个连续偶数的和等于多少?[提示:象 2,4,6 或者 8,10,12 就是三个连续偶数。连续偶数的特点是相邻两个数的差等于 2,并且每个数都能被 2 整除]【18】

6、长方形的长是宽的 2 倍。如果宽增加 3 厘米,那末长方形的面积就增加 24 平方厘米。这个长方形原来的面积是多少?【32平方厘米】

7、如果一个长方形的长减少 4 厘米,而宽增加 7 厘米,就成了一个正方形,并且这个正方形的面积比长方形的面积大 100 平方厘米。求这个长方形的长和宽。【28厘米,17厘米】

8、因加工需要在长方形铁板的中央开一个正方形的口,口一边的长比铁板的长少 8 厘米,比铁板的宽少 3 厘米,这样,铁板的面积就剩下 68 平方厘米。求原来铁板的面积。【84平方厘米】

9、收割一块麦地,每小时收割 4 亩,预计若干小时完成。收割了 2/3 以后,改用新式农具,工作效率是高到原来的 1又1/2 倍,因此比视定时间提早 1 小时完成。这块麦地的面积是多少?【36亩】

10、把面积是 16 亩的土地分成两部分,试种两种新品种的小麦。要使两部分面积的比等于 3:5,求每一部分的面积。【6亩,10亩】

11、有一种绝热的泥料,它的组成物石棉丝、耐火粘土、细磨熟料的重量的比是 3:7:10  。现在要配成 3000 公斤的绝热泥料,三种原料各需要多少公斤?【450公斤,1050公斤,1500公斤】

【种花家务·代数】2-1-06列出方程来解应用题『数理化自学丛书6677版』的评论 (共 条)

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