平面几何题目分享（17）一道较为基础的共圆问题

如图：M为BC中点，EF=1/2BC，圆ACE再次交AB于P，圆ABF 再次交AC于Q求证：APQM四点共圆。

首先观察图中点的生成方式，M是中点，平凡普通，PQ是交出来的，也没什么奇怪的，只有EF两点由一个长度关系进行限定。那么自然的，便会考虑EF两点的画法。一个常见的画法便是在BC上取一点D，然后分别取BD，CD中点得到EF。

纵观点的生成顺序，不难发现D是一个很重要的点，我们先探索D点的性质。

由中点，得DF*DB=DE*DC,从而D在两圆根轴上，即ADG三点共线；CQ*CA=CF*CB=CD*CM。这两个结论为共圆的证明带来了契机。

首先由CQ*CA=CD*CM，得AQDM四点共圆，于是要证APDM四点共圆只需证APDQ四点共圆（已知一个共圆，证另一个点也在这个圆上）那么如何证这个四点共圆呢？

由APGC共圆，有∠AGP=∠ACP，而要证的共圆让我们关注到了∠ADP与∠AQP这对对视角，由这两对角，我们将问题转化成了证明△PDG∽△PQC。

现在我们有一对等角，我们只要再找出一对边长成比例就好。在圆APC中，PG/PC=sin∠PAG/sin∠PAC，由对视角相等，以及对角互补，∠PAG=∠DFG，∠QFC=∠BAC，∠ABC=∠AGF=∠FQC。由∠AGF=∠FQC以及DF=FC，易得△DGF与△FQC的外接圆是等圆，于是DG/CQ=sin∠DFG/sin∠QFC=sin∠PAG/sin∠PAC=PG/PC。

于是我们成功证明了上述相似。原命题也就得证了。