大结局:考研数一·用结论速做选择(2)函数性态
函数性态这个词我一直没找到合适的解释，它似乎是函数在区间上的一些整体宏观指标，与之相对我在该系列第一集中提出了在某点处邻域级的“函数状态”。本集更函数性态
一、结论库
1、极值点的常用命题：
极值点常用的命题，包括1个定义、1个必要条件、1组充分条件。
2、拐点的常用命题
拐点的常用命题与极值点的完全对称。
二、真题演练
1987、一（2）
结论：
1、x·a^x的n阶导数公式
一阶导数=2^x(1+xln2)，有唯一驻点
2、
不看恒正因子2^x，直线y=1+ln2x的零点-1/ln2为唯一极值点，且正斜率从负入正，则极小值
1987、五（3）
分数线大家都能看出来
命题：
1、极值定义（定义为充要级条件）
2、极限保号性（性质为定理级条件）
由极限保号性易得x=a的邻域内f(a)为极大值，仅B入选。答案B
1988、三（2）
命题：极值的2阶充分条件
由方程知，y"=2y'-4y,代入x0、y(x0)>0,y'(0)=0知y"<0，由极值2阶充分条件知极大值，仅A入选。答案A
1989、二（1）
方法1：
结论：经典函数x·sin1/x仅有水平渐近线y=1，所以A入选 答案A
方法2：基本方法之渐近线求法
易得该函数无铅直渐近线，所以求趋于正负无穷时函数的极限值，为常数，即有水平渐近线
结论：同侧无穷，水平渐近线和斜渐近线互斥。
∴有且仅有水平渐近线。仅A入选。答案A
1990、二（4）
结论：
1、cos的泰勒展开（1-cosx~1/2x²）
2、极限保号性
3、极值定义
因f(x)-f(0)在x=0的邻域内>0，所以f(0)极小。仅D入选，答案D
1991、二（1）
方法：求渐近线的基本方法
（1）考察铅直渐近线，令函数表达式的分母=0，则x=0，分子此时不为0，所以有铅直渐近线。AB错误。
（2）求趋于∞时函数的极限值，e指数衰减至0，即有水平渐近线y=1，C错D对
仅D入选，答案D
1996、二（2）
结论：
1、极限保号性
2、极值点2阶充分条件
易得答案B
2002、二（3）
方法1：特例法+排除法。考察y=1/x ·sinx²，可排除ACD
方法2：直接法+导数定义式+拉格朗日中值定理 易得+∞处导数存在则必为0
2003、二（3）
结论：
1、极限保号性
2、极值的定义
易得f(0,0)=0，则由极值定义，f(x,y)-f(0,0)=xy+(x²+y²)²，在原点处显然可正可负，所以非极值
2004、二（8）
命题：导数的定义式
结论：极限保号性
注：经典用不上的结论：
这个只有连续，而不能保证区间（即使是无穷小的区间——邻域）上可导，导数的正负丧失了表征单调性的充分性，因为邻域上无穷振荡即摧毁单调性。充分或充要级的条件为导数定义式，由极限保号性易得x>0的邻域有f(x)>f(0)，x<0则f(x)<f(0)
2005、一（1）
方法：基本方法之求渐近线之求斜渐近线
（1）（2）分别为求渐近线之铅直、水平渐近线，（3）求斜渐近线
先求两侧∞处a=y/x的极限值，易得均为1/2，即两条斜率相同的斜渐近线。
再求两侧∞处b=y-ax的极限值，易得均为-1/4，即两条重合的斜渐近线，所以方程唯一
即y=1/2x-1/4
2006、二（7）
结论：泰勒展开
易得答案A
2007、一（2）
方法：基本方法之渐近线求法
（1）先考察铅直渐近线，一般所给函数均为初等函数，故考察其定义域不连续点。易得x=0为一条铅直渐近线。
（2）求水平渐近线。即求两侧∞处函数极限值，注意指数函数为经典的在无穷点处极限不存在的点，即e^+∞=+∞，e^-∞=0，而1/x两侧∞均=0，则-∞处有水平渐近线y=0，
（3）因+∞处无水平渐近线，尝试求斜渐近线。而根据函数形式不必拘泥墨守成规，x→+∞时，ln（1+e^x）=ln(e^x)=x即为斜渐近线
故3条渐近线，仅D入选，答案D
2011、一（1）
命题：拐点定义：曲线凹凸性的分界点（定义是充要级条件）
由题意得又x=1、2、3、4个可疑点，且求导较为困难，不宜用判定拐点的充分条件。
在区间[1,2]上，(f(1)+f(2))/2=0,而f((1+2)/2)<0,所以在[1,2]上是凹函数，依次遍历各区间，易得(3,0)为唯一拐点
拐点的求法目前有定义和充分条件两种
2012、一（1）
方法：基本方法之渐近线求法
结论：同侧水平渐近线与斜渐近线互斥
前文已述，易得x=1是铅直渐近线，两侧无穷均是水平渐近线y=1，所以易得C
2014、一（1）
方法：基本方法之渐近线求法
易得ABCD均无水平渐近线，也均无铅直渐近线，且BD无斜渐近线，对于AC考察斜渐近线，在∞处求y/x的极限，AC皆=1，但limx→∞y-x，A不存在，C存在，故A错C对，答案C
