高中数学人教B版——补充篇02《常用逻辑用语》

本篇中并没有什么太多需要补充的内容，因为这里本来也没有太多内容。主要都是结合者其他知识一起考察的，所以只学会这部分也没有用，其他部分也要学好才行。

01 如何判断谁是谁的什么条件

刚学到这一节的小朋友可能虽然知道有充分条件和必要条件这两个名词，但是真的要判断的时候却拿捏不准。所以在这里教给大家一个简单粗暴的方法：

例如：若 ，则 p 就是充分条件，是谁的充分条件呢？显然是 q 的充分条件。所以利用上面的方法，我们很快可以得出【p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件】。

但是，至于 p 是不是 q 的必要条件，以及 q 是不是 p 的充分条件，我们仅凭这少的可怜的已知，是推断不出来的。所以，在此基础上，如果我们能进一步知道 q 能否推出 p，那么我们就能继续判断刚才的疑问了。

在刚才的基础上，

① 若，则我们可以得出结论【q 不是 p 的充分条件，p 不是 q 的必要条件】。结合上一步的结论，可得【p 是 q 的充分不必要条件，q 是 p 的必要不充分条件】。

② 若，则我们可以得出结论【q 是 p 的充分条件，p 是 q 的必要条件】。结合上一步的结论，可得【p 是 q 的充分必要条件，q 是 p 的充分必要条件】。

所以，其实可以这么理解，若 p 是 q 的充分条件，那么有两种情况：① p 是 q 的充分不必要条件；② p 是 q 的充分必要条件。这是不是就和集合里面子集的分类很像了？

02 充分条件、必要条件与集合的关系

由上文我们已经发现充分条件、必要条件与集合中的子集很有关系的样子，所以我们可以的出结论：

由结论可知，子集就和充分条件差不多，所以我们又有如下结论：

显然，上面结论中的小集合是大集合的子集。

所以我们就把充分条件、必要条件成功地与集合联系了起来。以后如果题中给了【 是 的充分条件】这种已知，那么我们就可以把它翻译成【A 是 B 的子集】了。而且如果是充分不必要条件，那就翻译成真子集；如果是充要条件，那就翻译成相等。

非常好用。当然了，说子集的时候，首先一定要考虑空集的情况。

03 命题的否定与集合的关系

经过上文的熏陶，很明显，命题的否定所对应的集合 就是 原命题所对应的集合的补集。

所以其实我们可以根据集合的一些性质反推出命题的一些性质。

这个结论其实在旧版教材中，是直接给出了的。我们在这里借用集合的思想，得出了这个结论。这个结论通常用于原命题不容易判断真假的时候，我们可以通过判断原命题的逆否命题的真假，从而得出原命题的真假。（逆否命题就是把原命题的条件和结论都否定后，再调换位置，而且原命题与其逆否命题同真或同假）

那么你能利用集合关系证明出来这个结论吗？