【菲赫金哥尔茨微积分学教程精读笔记Ep8】数字革命：顺“序”开始&逆向发展

今天我们继续上次的话题，上次我们聊到了，学科可以大致分为三类：

“第一类，以探索多样性为目的的学科，如大多数的人文艺术类学科； 

第二类，以探索真理为目的的学科，如大多数自然逻辑类学科，讲究内部逻辑严丝合缝，一个反例就可以推翻前人坚信了几千年的真理；

第三类，以探索实用性为目的的学科，如大多数工程应用类学科，讲究怎样理论联系实际，把书上发展起来的理论，与现实存在的问题联系起来。 ”

我们提到，数学属于第二类，而第二类学科要

对于第二类学科，有几条被普遍接受的要求：

”1. 逻辑自洽性——即内部逻辑可以自圆其说，每一项论断和推理都能从公理（即该学科的”逻辑起点“）上找到解释；

  2.可发展性——由已知的所有定义和公理定理，可以推导出新的结论，并且不会与之前的所有理论发生矛盾；

  3. 可证伪性——因为这种学科的目的是为了探索真理，那么就做出了一点预设，真理必然是存在且唯一的，所以，即使之前千万个例子没出过问题，一个反例的出现足以证伪。”

第二类学科的研究与发展，始终遵循着这三个规则。

第二类学科的发展方式，分为“顺向发展”和“逆向发展”两种。

在Ep7中我们详细地阐述了顺向发展的三大常规途径：解题技巧的创新，研究思路的创新，以及，理论体系的创新。

今天我们就来聊聊数学研究的逆向发展。

逆向发展——指的是，在数学的发展进程中，人类思维不断完善的过程中，一些思维敏锐的“逻辑鬼才”发现了本来作为数学“逻辑起点”（“逻辑起点”的内容见Ep1）的“公理”存在“逻辑漏洞”，后人为了弥补“漏洞”而重新对一些“公理”进行定义和约定，产生了新的“逻辑起点”。

注：这种发现可不得了！要知道所有的数学理论都是以“公理”为前提的，而按照“三段论”来看，大前提都有问题了，之后所有的推理就都是错的了；

简单来说，就是这些“娄子”不补上，之前所有的数学家都得从土里面爬出来找你算账！——太恐怖了。

对应的就是三次数学危机：

a.第一次数学危机：也就是根号二的发现。

要知道那是在两千多年前的古希腊，所有人的都信仰着这个世界上所有事物都是可以均分的，感慨着“上帝多么牛逼”的时候，忽然冒出来根号二这么个奇葩玩意儿，整个数学界都疯了好嘛！

然而数学家的心态也是很好，虽然有这种东西在，我们也不管它，过了两千多年的十九世纪下半叶才有了对无理数的严格定义和实数连续性的验证，无理数的定义我们在Ep3~6聊过；

b.第二次数学危机：（需要一点点微积分知识）关于微积分里△x这个怪物。

理论上来说，是从实数连续性推出来极限论，再在极限论的基础上建立微积分才严谨，然而现实的发展确实反过来的，十七世纪就有了微积分，十九世纪初才有了极限论，再之后才有了实数的严格定义，数学家也都真是心大！

所以当时微积分的运算就有问题了——

因为没有极限符号，所以就有人问牛顿：你计算的时候把△x当作除数，说明他不是0；你算出来结果又不要它了，说明它是0，一个数怎么可以一会儿是0一会儿不是0？牛顿自然是没有给出让这个人满意的答复的。

于是当事人就讽刺地把△x成为“数学的幽灵”。

而我们学过极限论的都知道，求解微积分的过程其实是一个求极限的过程，求极限的过程其实是一个让△x无限靠近0的过程，而取极限的步骤往往会放在最后一步，△x本身不是零而是一个变量所以可以做除数，而取极限之后，△x最极致的状态就是取为0，所以极限运算后没有了。

注：于是，极限论里有一个重要常识就是——一个变量的极限，这个变量不一定能达到；

比如1/n（n取正整数）构成的无限数集，随着n的增大，1/n不断减小，极限为0，但是，你从中间任取一项都比0大。

c.第三次数学危机：一个理发师引发的……命案？哦，不，惨剧！——大名鼎鼎的“罗素悖论”

各位上过高中的宝宝，大声告诉我，高中必修一第一章学的是什么？对头，就是“集合”啦。

实际上，我们高中学习的“集合”，乃至大学“高等数学”“数学分析”或者各种教材中涉及到的关于集合的知识，都被称作“朴素集合论”，

原因在于，对集合的定义，我们采取了一种相对模糊的方式：“确定的，互不相同的对象组成的整体”。

为什么说这种定义是模糊的呢？

其中有一个原因就在于“确定的”这个形容词该如何理解呢？这个形容词是一个相对主观的概念，如何界定一个事物的确定性呢？教材提供了一种思路，就是举出了许多集合的例子,让我们通过经验归纳什么是“集合”，什么是“确定性”——

a.老碧大学班里的所有男生是一个集合；

b.老碧认识的所有聪明人不是一个集合，因为聪明的评价标准在日常交流中没有量化，而如果按照心理学的定义，IQ120及以上为智力超常，然后以这个为“聪明”的定义，就又可以当作一个集合了。

我们从中大概可以得出两个结论：

a.满足某种特定性质的所有对象的全体构成一个集合；

b.这些性质的所指会很明确，一旦给出，唯一的集合也便随之确定。

所以这里的“确定的”就起码对应包含两重意味：

a.性质的确定性，一般是精确的限制范围，大多是数字——精确性；

b.所指的确定性，在这个范围内不会得出两个不同的集合——消歧义性。

看起来，我们归纳的这个集合的定义已经很完美了。十九世纪之前的数学研究者也这么觉得，直到有一天，有个叫罗素的“捣蛋鬼”，讲了一个理发师的故事：

“某理发师巨爱装逼，然后在自己的广告中写到：‘我给并且只给所有不给自己刮胡子的人刮胡子’，亲爱的，你觉得他给不给自己刮胡子呢？”

我们首先来看这个命题，“我给并且只给所有不给自己刮胡子的人刮胡子”，相当于把人以下两种情况：

a.给自己刮胡子的人—理发师不刮；

b.不给自己刮胡子的人—理发师刮。

那么假如理发师给自己刮胡子，他归为a类，理发师不应该刮才对；假如理发师不给自己刮胡子，他归为b类，理发师又应该刮才对。

于是无论给自己刮胡子，还是不给自己刮胡子，这个理发师是“装逼怪”本怪无疑了！

也就是说，如果我们把所有由理发师刮胡子的人构成一个集合，那么按照理发师给出的条件，他在不在这个集合里呢？

更抽象的说法：如果我们把所有不属于自己的集合构成一个集合族（集合族即以集合作为元素的集合），记为A，那么这个集合族A是不是它自己的元素呢？如果是，则它不应该属于自己，如果不是，那它应该又应该属于自己才对。

（可怜的A，两边不受待见！）

于是，宝贝们，发现问题了吗？
还记得我们之前说过，在数学中，默认“排中律”是对的吗？也就是说，给定一个集合，任何一个对象要么属于它，要么不属于它。而我们实数理论是在“排中律”的基础上建立的。——按照分类的方式建设了“无理数”的定义。

然而在这个悖论中，成功构造了一个集合，使得有一个元素，既不可能属于也不可能不属于这个给出的集合。

所以在“朴素集合论”的理论基石里，“排中律”坍塌了，两千多年才建立的实数理论就从根基上荒谬了。

数学家是智慧的，既然后期发展的所有理论逻辑严密，而“集合”的定义主观模糊（术语叫做“非形式化”），那么肯定是这个“集合”的定义出问题了。

由此，数学家们发挥聪明才智，重新严格定义“集合”，产生了一系列关于“公理化集合论”的理论体系，而这中间最著名的，莫过于“策尔梅洛选择公理”。这个内容也构成了《实变函数》的重要学习内容之一。

感兴趣的小伙伴，可以去去看周民强老师的《实变函数论》，或者王声望老师的《实变函数和泛函分析概要》，或者那汤松的《实变函数论》，上面有详细地介绍。因为篇幅过长，老碧在这里就不详细赘述了。

至此，数学的理论体系暂时没什么明显的“大娄子”了，虽然“选择公理”的逻辑是否足够严整学界依然存疑，但是在下一个“捣蛋鬼”出现之前，我们就先接受它呗。当然，如果你想看看能不能引起“第四次数学危机”，也是可以的，老碧永远在精神上支持你哦！