人工智能AI面试题-3.10 深入探讨贝叶斯定理

3.10 深入探讨贝叶斯定理 在深入探讨贝叶斯定理之前，让我们先澄清一些重要的定义： 条件概率（亦称为后验概率）是指在事件B已经发生的情况下，事件A发生的概率。条件概率通常表示为P(A|B)，可读作“在B条件下A的概率”。 以一个样本空间Ω中的事件或子集A与事件B为例，如果我们从Ω中随机选择一个元素，而这个元素同时也属于B，那么这个元素同时属于A的概率就是在B的前提下A的条件概率，其数学表示为：P(A|B) = |A∩B|/|B|。进一步，分子和分母都可以除以|Ω|来得到： 联合概率表示了两个事件同时发生的概率，通常用P(A∩B)或P(A, B)来表示。 边缘概率（亦称为先验概率）是指某一事件发生的概率，通常通过将联合概率中不需要的事件合并成它们的全概率，然后消除它们来获得。这一过程称为边缘化（marginalization）。比如，事件A的边缘概率用P(A)表示，事件B的边缘概率用P(B)表示。 现在，让我们考虑一个问题：P(A|B)代表了在事件B发生的情况下，事件A发生的可能性。 首先，在事件B发生之前，我们对事件A的发生有一个基本的概率估计，称为A的先验概率，通常用P(A)来表示。 其次，当事件B发生之后，我们重新评估了事件A的发生概率，这被称为A的后验概率，通常用P(A|B)来表示。类似地，事件A发生之前，我们对事件B的发生也有一个基本的概率估计，称为B的先验概率，通常用P(B)表示。 同样，事件A发生之后，我们重新评估了事件B的发生概率，这被称为B的后验概率，通常用P(B|A)来表示。贝叶斯定理建立在以下贝叶斯公式的基础上： 上述公式的推导实际上非常简单，只需要基于条件概率的定义进行推导。根据条件概率的定义，在事件B发生的条件下事件A发生的概率是： 同样地，在事件A发生的条件下事件B发生的概率为： 将上述两个方程整理并合并，我们可以得到： 然后，将上式两边同时除以P(B)，如果P(B)不为零，我们就可以得到贝叶斯定理的公式表达： 因此，贝叶斯公式可以直接从条件概率的定义推导而来，即P(A,B) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B)，从而P(A|B) = P(A)P(B|A) / P(B)。欲知更多详情，请参考这篇文章：《从贝叶斯方法探讨贝叶斯网络》。 😎📈🔍🧮💡