六角格棋盘距离计算的一种思路

2023-06-23 19:45 作者:查稽查稽查稽 0人读过 | 我要投稿

六角格棋盘广泛应用于战棋游戏中。比起四角格棋盘，六角格棋盘的距离计算更加复杂。关于六角格的距离计算，有非常多的思路和解决方案，本文仅从数学的角度简单介绍一种方法。

一、如何定义六角格棋盘的距离

在平面上，与某点距离相同的点集合是一个圆。在六角格棋盘中，与某格距离相同的格集合是个“六边形”，如图1所示，用相同颜色表示距离相同的格。

二、六角格棋盘的坐标

1. 四角格棋盘的坐标

先来分析较为简单的四角格，如图2所示。

在四角格中，由某一格向相邻的格移动时，有四个运动方向：i，-i，j，-j

$i%3D(1%2C%5C%200)$

$-i%3D(-1%2C%5C%200)$

$j%3D(0%2C%5C%201)$

$-j%3D(0%2C%5C%20-1)$

从格 $(0%2C%5C%200)$ 经过若干次运动到达某一格，每次运动的向量和，即为该格的坐标。由此绘制四角格棋盘的坐标，如图3所示。

2. 六角格棋盘的坐标

在六角格中，由某一格向相邻的格移动时，有六个运动方向：i，-i，j，-j，k，-k

$i%3D(1%2C%5C%200%2C%5C%200)$

$-i%3D(-1%2C%5C%200%2C%5C%200)$

$j%3D(0%2C%5C%201%2C%5C%200)$

$-j%3D(0%2C%5C%20-1%2C%5C%200)$

$k%3D(0%2C%5C%200%2C%5C%201)$

$-k%3D(0%2C%5C%200%2C%5C%20-1)$

如图4所示。

从格 $%5Cleft(0%2C0%2C0%5Cright)$ 经过若干次运动到达某一格，每次运动的向量和，即为该格的坐标。

但是这样会带来一个问题：我们都知道平面上的一点只需要两个坐标就可以确定了，现在我们用了三个坐标，必然有一个是不独立的。由 $i%2Bj%2Bk%3D0$ 可知，坐标

$(a%2C%5C%20b%2C%5C%20c)$

$(a%2B1%2C%5C%20b%2B1%2C%5C%20c%2B1)$

$(a%2B2%2C%5C%20b%2B2%2C%5C%20c%2B2)$

……

$(a%2Bk%2C%5C%20b%2Bk%2C%5C%20c%2Bk)$

……

描述的是同一个格。

因此，我们设法舍掉一个坐标。对于坐标 $(a%2C%5C%20b%2C%5C%20c)$ 来说， $%5Cleft(a-c%2Cb-c%2C0%5Cright)$ 是同一个格。将第三个坐标变为0并舍去，每个格就有了统一的坐标 $%5Cleft(a-c%2Cb-c%5Cright)$ 。如图5所示。

不难看出，用两个坐标想要直观计算六角格棋盘的距离还是太困难，在推导中仍将采用三坐标进行计算，最后再将结果双坐标化表示。

三、六角格棋盘的距离计算

1. 四角格棋盘的距离

易知，四角格棋盘中格 $(a%2C%5C%20b)$ 与格 $(0%2C%5C%200)$ 的距离 $r$ 为

$r%3D%5Cleft%7Ca%5Cright%7C%2B%5Cleft%7Cb%5Cright%7C$

推导过程如下：

假设我们从格 $(0%2C%5C%200)$ 出发，走任意路径到达格 $(a%2C%5C%20b)$ ，设我们进行 $i$ 运动的次数是 $A_1$ ， $-i$ 运动的次数是 $A_2$ ， $j$ 运动的次数是 $B_1$ ， $-j$ 运动的次数是 $B_2$ ，那么我们走过的路程 $s$ 为

$s%3DA_1%2BA_2%2BB_1%2BB_2$

且有

$a%3DA_1-A_2$

$%7Bb%3DB%7D_1-B_2$

定义

$s_A%3DA_1%2BA_2$

则

$s_A%5E2%3DA_1%5E2%2BA_2%5E2%2B2A_1A_2%3Da%5E2%2B4A_1A_2%5Cgeq%20a%5E2$

$s_A%5Cgeq%5Cleft%7Ca%5Cright%7C$

取等条件 $A_1%3D0$ 或 $A_2%3D0$

同理有

$s_B%3DB_1%2BB_2%5Cgeq%5Cleft%7Cb%5Cright%7C$

$s%3Ds_A%2Bs_B%5Cgeq%5Cleft%7Ca%5Cright%7C%2B%5Cleft%7Cb%5Cright%7C$

定义所有路径中路程最小值为距离 $r$ ，则有

$r%3D%5Cleft%7Ca%5Cright%7C%2B%5Cleft%7Cb%5Cright%7C$

对于更一般的情况，格 $(a_1%2C%5C%20b_1)$ 与格 $(a_2%2C%5C%20b_2)$ 的距离 $r$ 为

$r%3D%5Cleft%7Ca_2-a_1%5Cright%7C%2B%5Cleft%7Cb_2-b_1%5Cright%7C$

2. 六角格棋盘的距离

根据对四角格的讨论，我们得到路程 $s$ 和距离 $r$ 有以下结论：

$s%5Cgeq%5Cleft%7Ca%5Cright%7C%2B%5Cleft%7Cb%5Cright%7C$

$r%3D%5Cleft%7Ca%5Cright%7C%2B%5Cleft%7Cb%5Cright%7C$

在六角格中，假如我们从 $(0%2C%5C%200%2C%5C%200)$ 出发，走任意路径到达 $(a%2C%5C%20b%2C%5C%20c)$ ，类比易得如下结论：

$s%5Cgeq%5Cleft%7Ca%5Cright%7C%2B%5Cleft%7Cb%5Cright%7C%2B%5Cleft%7Cc%5Cright%7C$

那么

$r%3D%5Cleft%7Ca%5Cright%7C%2B%5Cleft%7Cb%5Cright%7C%2B%5Cleft%7Cc%5Cright%7C$

是否也成立呢？

答案是不成立，因为 $a$ ， $b$ ， $c$ 三个坐标并不是唯一的。根据对六角格棋盘坐标的讨论，我们可以得到：

$s%5Cgeq%5Cleft%7Ca%5Cright%7C%2B%5Cleft%7Cb%5Cright%7C%2B%5Cleft%7Cc%5Cright%7C$

$s%5Cgeq%5Cleft%7Ca%2B1%5Cright%7C%2B%5Cleft%7Cb%2B1%5Cright%7C%2B%5Cleft%7Cc%2B1%5Cright%7C$

$s%5Cgeq%5Cleft%7Ca%2B2%5Cright%7C%2B%5Cleft%7Cb%2B2%5Cright%7C%2B%5Cleft%7Cc%2B2%5Cright%7C$

……

$s%5Cgeq%5Cleft%7Ca%2Bk%5Cright%7C%2B%5Cleft%7Cb%2Bk%5Cright%7C%2B%5Cleft%7Cc%2Bk%5Cright%7C$

……

在这些右式中的最小值才是距离 $r$ 。

如何求得这个最小值，关键是找到对应的 $k$ 。在数轴上， $%5Cleft%7Ca%2Bk%5Cright%7C$ 对应 $a$ 与 $-k$ 的距离， $%5Cleft%7Cb%2Bk%5Cright%7C$ 对应 $b$ 与 $-k$ 的距离， $%5Cleft%7Cc%2Bk%5Cright%7C$ 对应 $c$ 与 $-k$ 的距离。不妨假设 $a%5Cle%20b%5Cle%20c$ ，那么：

$%5Cleft%7Ca%2Bk%5Cright%7C%2B%5Cleft%7Cc%2Bk%5Cright%7C%5Cgeq%5Cleft%7Ca-c%5Cright%7C$

取等时 $a%5Cle%20-k%5Cle%20c$

$s%5Cgeq%5Cleft%7Ca%2Bk%5Cright%7C%2B%5Cleft%7Cb%2Bk%5Cright%7C%2B%5Cleft%7Cc%2Bk%5Cright%7C%5Cgeq%5Cleft%7Ca-c%5Cright%7C%2B%5Cleft%7Cb%2Bk%5Cright%7C%5Cgeq%5Cleft%7Ca-c%5Cright%7C$