【数学基础139】常微分方程：史济怀老师视频微分方程相关内容总结（八）

史济怀老师视频课微分方程部分——

&3.二阶线性微分方程的一般理论

&3.1二阶齐次线性方程解的结构

定义：设 φ1（x），…… ，φm（x）是定义在（a，b）上的m个函数，如果存在不全为0的c1，……，cm，使得c1φ1（x）+……+cmφm（x）=0，x属于（a，b）就称φ1（x），…… ，φm（x）在（a，b）上线性相关，否则，称为线性无关的。   

推广：两个函数y1（x），y2（x）线性相关，即在（a，b）上的2个函数，如果存在不全为0的c1，c2，使得c1y1（x）+c2y2（x）=0，x属于（a，b）就称y1（x），y2（x）在（a，b）上线性相关，否则，称为线性无关的。

推论：两个函数线性相关，则一个函数是另一个函数的常数倍。

证明：

1. 两个函数y1（x），y2（x）在（a，b）线性相关，即——

   在（a，b）上的2个函数，存在不全为0的c1，c2，使得c1y1（x）+c2y2（x）=0，x属于（a，b）；

2. 假设c1≠0，由c1y1（x）+c2y2（x）=0，y1（x）=-（c2/c1）y2（x），得证。

例1：求证 1，(cos x)^2，(sin x)^2是否线性相关。

解：

1. 由经验知(cos x)^2+(sin x)^2=1，即-1+(cos x)^2+(sin x)^2=0；

2. 则存在c1=-1，c2=1，c3=1，使得c1*1+c2*(cos x)^2+c3*(sin x)^2=0，所以 1，(cos x)^2，(sin x)^2线性相关。

例2：求证 1，cos x，sin x是否线性相关。

解：

（反证法）——

1. 假设存在不全为0的数c1，c2，c3，使得c1*1+c2*cos x+c3*sin x=0；

2. 当x=0时，c1*1+c2*cos 0+c3*sin 0=c1*1+c2*1+c3*0=c1+c2=0；

3. 当x=π/2时，c1*1+c2*cos π/2+c3*sin π/2=c1*1+c2*0+c3*1=c1+c3=0；

4. 当x=π时，c1*1+c2*cos π+c3*sin π=c1*1-c2*1+c3*0=c1-c2=0；

5. 由2、3、4得到，c1=c2=c3=0，与假设矛盾，故而， 1，cos x，sin x是线性无关。