当代数学哲学导论（2）：有理数、负数和“万物皆数”
如果我们回溯历史，就会发现西方科学家总是喜欢把自己的数学和哲学追溯到古希腊时期，然后仿佛中间的一千多年什么都没发生一样，直接进入近代数学。
这当然有不妥的地方。但是从古希腊开始确实是有道理的。从今天的眼光看，他们知道的东西实在不多，但是志向却十分远大。他们面对浩瀚无垠的宇宙，居然提出了“万物皆数”的观点，想要用自己手上并不充裕的代数和几何知识来描述这个世界。从贬低的角度来说，他们就像是志得意满的小学生或者初中生，认为一切数学的真理都在自己的掌握之中了；从褒扬的角度来说，他们是人类第一批向自然宣战的人，他们要从自己的抽象世界去了解这个现实世界。
有理数的出现应该和整数出现的时间大致相同，因为人们很早就意识到等分是一个很重要的操作。庄子曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”证明庄子是知道“一”这个整数和“半”这个有理数的。等分这个操作其实在自然生活中非常重要，甚至比乘法要重要得多。我在读小学时就曾经怀疑，为了计算多个相同的数相加而引入乘法是否有意义。为了解决7个8加起来是多少，就要去背七八五十六，这个代价不是也太高了吗？但是除法不同，现实生活不会遇到多个相同的数相加，但是会经常遇到等分。当时的我就认为乘法是为了解决等分问题而引入的。
在自然数的领域，除法显然不是一个好的计算。但是我们一方面可以通过引入小数来得到有限小数和无限循环小数，另一方面我们可以保留形式的分数符号。这两种计算本质上都没有什么问题。只要能充分掌握两者之间的互推（你可以顺便思考一下，怎么互推？），有理数的引入似乎也不是什么问题。
值得一提的是，这些有理数指的都是非负的有理数，当时的人们不承认负的有理数。一方面是因为前面我们提到过，整数和有理数的第一次发扬光大是在与平面几何的结合中，平面几何中显然不会出现长度为负的线段或者面积为负的图形，所以引入负数毫无必要；另一方面是因为负数本身会导致很多人当时难以理解的结论。
顺便一提，小学时引入负数是认为小数减大数就会产生负数，这种观点实在是荼毒无穷。这和x^2+1=0没有根，因此引入i为它的根一样，是完全错误的引导方式。如果采用上面的引导方式，学生很可能就会陷入一种怀疑主义的立场中。也就是说，任何的理论都是站不住脚的，反正没有根我们就创造一个，什么没有我就创造什么，这样导致的数学将会是一团糟。例如一元一次方程只有一个根，那么我能不能强行去定义第二个根呢？任何正数的正数次幂都是正的，我能不能去强行定义一个负的呢？由此产生的问题无穷无尽，很有可能从根源上就摧毁一个小朋友的数学兴趣：既然数学到处都是怀疑的和不确定的，有什么可研究的呢？
真正好的教育方式是参考历史上人们如何引入负数的。从这里我们就会发现历史上的人们认识负数也经历了三个阶段。
第一个阶段是完全不知道的阶段。根据目前的考证，古巴比伦是不知道负数的，古希腊的丢番图也是不知道负数的。当然秦汉时期的中国人其实是知道的。但是因为中国数学与世界数学长期脱轨，所以我们暂且不提。我们会在后面的文章中专门介绍中国数学。
第二个阶段是怀疑的阶段。人们发现引入负数可以带来很多很多的好处。例如，引入负数后加法和减法可以统一为一个运算。减一个数可以认为是加上它的相反数。这使得做运算的意义上数学变简单了（当然也在认知的意义上变复杂了，这一点和某种现代数学思想有关，我们后面再谈）。此外，引入负数之后，任意一个一元一次方程都有且仅有一个根，这带来的好处实在是太大了。解方程从这里开始出现了一般的理论上的研究。
当然坏处也是显而易见的。负数容易带来很多反直觉的“悖论”。其中一个经典的例子是1:(-1)=(-1):1。现在我们看可能习以为常，但是如果我们忘掉所有学过的东西，你就会发现，1是比-1更大的一个东西，你居然认为大的东西除以小的东西等于小的东西除以大的东西？这简直就是胡说八道。
第三个阶段是完全承认的阶段。小学教育往往就是不能说清楚为什么要进入这个阶段。
之所以彻底承认负数，是因为负数给我们带来的好处远远多于它产生的麻烦。引入负数使得有理数（或者整数、实数都可以）变成了一个双向延伸的对象，而不是正数或者自然数那样单向延伸的对象。这在某种程度上对应了另外的我们需要研究的对象（特别是笛卡尔和费马引入解析几何之后，这种双向延伸的特性和直线的双向延伸的特性对应了起来）。引入负数使得一元一次方程总是有根，这使得很多实际生活中的问题总是可以解决（当然更重要的是在当时遇到的大量科学问题总是会有负数解）。同时负数也不是那么坏，它也可以做加法和乘法，也可以比较大小，它几乎没有失去我们对整数和有理数要求的一切性质。唯一的坏处就是和负负得正有关的一些结论。但是这些坏处相对于好处而言实在是微不足道。因此我们才会大面积承认负数这个概念。
当然，上面的事其实基本上都发生在文艺复兴时代了，让我们回到古希腊时期。当时的人们已经在几何学中广泛地应用了有理数，由于几何学的蓬勃发展，使得当时的人们已经发展出了一套完备的几何学体系。在有理数的加持下，一切几何问题都被认为是可以解决的。
我们都知道后来发生了第一次数学危机（这个我们下次再详细地谈），但是与很多历史书宣扬的不同，这事实上这丝毫没有动摇古希腊人对“万物皆数”观点的自信。我们翻开欧几里得的《几何原本》，你就可以发现其中篇幅最长的一章就在进行数的讨论。他们已经充分认识到了无理数的存在，并且已经开始着手发展有理数理论来解决这些看不见、摸不着的家伙。
这段时间其实对代数而言相当尴尬，原本所有人都认为长度和面积都能用有理数表示，现在却发现并不是这样。原本人们认为代数比几何更基本，现在却觉得几何比代数更基本了。加之几何的繁荣，极为寒酸的代数拿不出什么有力的结论，这进一步加深了人们的这一印象。人们不想去完善代数理论，却想着从几何的观点去解决这些代数问题。从马后炮的观点来看，这毫无疑问是错误的。
但是至此却是另一个领域——数论的开端。代数和数论联系如此紧密，数论却在代数最落魄的时候诞生，不得不说是造化弄人。
万物皆数的崩溃其实和数学没什么关系，而是受到神学的冲击。上帝显然不能容忍自己变成一个有理数。因此在认识世界上，人们投向了神学的怀抱。
万物皆数，本身肯定是错的。数是一个概念而已，它为了描述一些事物而生，它不应该拿去描述所有的事物。
万物皆数的破灭，却同样也是错误的。数不能表达世间万物，但是它的确可以表达很多东西。
因此，在文艺复兴之后，为了反对神学，物理学的开拓者们把目光投向了早已消亡的“万物皆数”，他们重新定义了什么是数，让自己观察到的物理现象获得了一个数学的完美的解释。
随着物理学和化学的巨大成功，他们的指导思想“万物皆数”再一次流行起来。现在主张任何事物都要讲数字，任何一个社会现象都要建模进行解释。现在已经很难再找到一个和数学完全无关的领域了。
这也许是因为数学工具本身获得了巨大的进步，也可能是因为人们在追随潮流，极大地滥用“万物皆数”这个哲学观点。不管如何，古埃及的那些土地测量员们大概不会想到，自己在莎草纸上写下的第一个正方形的面积公式，会成为现代数学万丈高楼的起点。
