【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】『数理化自学丛书』其实还有新版，即80年代的改开版，改开版内容较新而且还又增添了25本大学基础自学内容，直接搞出了一套从初中到大学的一条龙数理化自学教材大系列。不过我依然选择6677版，首先是因为6677版保留了很多古早知识，让我终于搞明白了和老工程师交流时遇到的奇特专业术语和计算模式的来由。另外就是6677版的版权风险极小，即使出版社再版也只会再版80年代改开版。我认为6677版不失为一套不错的自学教材，不该被埋没在故纸堆中，是故才打算利用业余时间，将『数理化自学丛书6677版』上传成文字版。

第一章静电学

【山话||  本系列专栏中的力单位达因等于10⁻⁵牛顿；功的单位尔格等于10⁻⁷焦耳；热量的单位卡路里等于4.186焦耳；电荷的单位静库（1库伦=3×10⁹静库）；电势的单位静伏等于300伏特。另外这套老教材中力的单位常用公斤、克等，但如今是不允许的，力是不能使用质量单位的。】

§1-9电容和电容器

【01】在上一节里我们讲过，在静电平衡的条件下，带电导体具有确定的电势。同时我们也已经学会了用静电计来测量导体的电势。但是我们还没有了解导体的电势究竟与哪些因素有关。在这一节里，我们就要讨论这一个问题。

1、导体的电容

【02】首先让我们来看一个实验。

【03】在进行实验前，我们准备好几个大小和形状都不同的绝缘空心导体和若干个带等量同种电荷的绝缘金属小球。绝缘空心导体上都开有小孔，可以容许金属小球出入。只要把带电的金属小球伸入空心导体并和它的内壁相接触，就可以使小球上所带电荷全部传给空心导体。

【04】先拿一个空心导体做实验。把它和一个外壳接地的静电计连接在一起，如图1·30所示。在空心导体不带电时，静电计的指针不偏转，这表示空心导体的电势和地球的电势相等，它们都等于零。依次传给它一个小球所带电荷 q，两个小球所带电荷 2q，三个小球所带电荷 3q，…，并在每次增加电量之后，测定一次电势（即读一次静电计指针偏转的刻度）。结果指出：导体的电势和它所带的电量成正比，也就是说，电量和电势的比是一个恒量。

【05】换用别的空心导体做同样的实验。我们将发现，当它带有电量 q，2q，3q，…时，静电计指针偏转的刻度数与上一个空心导体带有相等电量时静电计指针偏转的刻度数不同，即电量相等的电荷并不能使不同的导体都获得相等的电势。这就说明，导体的电势不但与所带电荷的电量有关，同时还与导体本身的性质有关。

【06】对许多不同的导体做同样的实验，结果指出：对指定导体来说，电量和电势的比都是一个与电量大小无关的恒量（即导体的电势和它所带的电量成正比）；但对不同的导体来说，这个比值的大小却各不相同，因此我们认为这个比值可以用来表示导体在这一方面的特性。

【07】为了定量地表示导体的这种特性，我们引入一个新的物理量——电容，并规定：导体的电容等于它所带电荷的电量和它的电势之比。

【08】如用 C 表示导体的电容，Q 表示它所带电荷的电量，U 表示它的电势，那么电容的定义式就是  。

【09】进一步的实验还指出：导体的电容跟它的大小和形状有关，跟制成它的材料无关。

【10】在厘米•克·秒制静电单位系里，电容的单位为 静库/静伏，叫做静法，又叫静电系单位电容。

【11】如果有一个导体，当它带电 1 静库时，它的电势正好是 1 静伏，那么这个导体的电容就是 1 静法。

【12】电容的实用单位叫做法拉。如果有一个导体，当它带电 1 库仑时，它的电势正好是 1 伏特，那么这个导体的电容就叫做 1 法拉。。

【13】理论证明，在厘米·克·秒制静电单位系里，均匀带电球形导体的电容在数值上等于它的半径。也就是说，电容的静法数等于半径的厘米数。

【14】在我们经常接触到的导体中，地球可以算是一个半径最大的球形导体了。它的半径约为 6.4×10³千米＝6.4×10⁸厘米，在理论上它的电容约为 6.4×108静法≈700×10⁻⁶法拉。

【15】由此可见，法拉是个很大的电容单位。在实际应用中，我们常用它的百万分之一（10⁻⁸法拉）作为单位，叫做微法拉。有时还用它的亿万分之一(10⁻¹²法拉）作为单位，叫做微微法拉。

【16】必须指出，电容是表示导体性质的物理量；导体在带电时，电量和电势的关系就由这种性质来决定，这种性质为导体的本身条件（如大小、形状等）所决定，与它是否带电和带电多少无关。切不可误认为导体要在带电时才有电容，在不带电时就没有电容。

【17】还须指出，决定导体电容的条件，除了导体的大小和形状之外，还有它周围的导体和电介质。只有孤立导体的电容才只与它本身的大小和形状有关。而孤立导体，实际上是不存在的；在真空或空气中的导体，如果距离其他导体或电介质很远的话，可以近似地看成是孤立导体。

例8.金属球 A 和 B 相距很远，它们的半径分别为 10 厘米和 5 厘米，所带电量也分别为＋1000 静库 和－400 静库。现在用一根细导线把它们连接起来，问它们各带多少电荷？

【解】

        题目指明这两个球体相距很远，意即它们可以各自看做是孤立导体，它们的电容也可以认为只与自己的大小和形状有关。由于孤立球形导体电容的静法数等于半径的厘米数，所以两金属球的电容应当分别为：CA＝RA＝10静法，CB＝RB＝5静法。

        根据导体电容的定义式，我们可以看出，在用细导线连接两个导体之前，它们的电势应当分别为：。

        这说明两个导体的电势不同，用导线连接后，自由电子要从电势较低的 B 球移向电势较高的 A 球，形成电荷重行分配，直到最后两球电势相等为止。

        设令达到静电平衡后的共同电势为 U，A 球上的电荷为 Q'A，B 球上的电荷为 Q'B，那么

        由于在电荷重行分配的过程中，总电量不会有所增减，所以

        解方程(1)和(2)，并代入数值，得出 Q'A＝400静库；Q'B＝200静库。

【注】题目中明确指出，用来连接两球的导线是细导线。其目的是告诉我们，导线的电容很小，可以忽略不计，因而分布在导线上的电量也可以忽略不计。

习题1-9(1)

1、一个导体在带电 2×10⁻⁸ 库仑 时，电势是 500 伏特。问导体的电容是多少微微法拉和多少静法。【40微微法拉，36静法】

2、导体的电容是 10 静电系单位，当它带电 2×10⁻¹º库仑时，电势应该是多少伏特？【18伏特】

3、导体的电容是 0.01 微法拉，如果要使它的电势达到 0.1 静伏，应该给它带多少电荷？【900静库】

4、两个金属球，一个较大，另一个较小。现在使它们带等量电荷。它们的电势是否相等？如果用导线把两个球连接起来，会不会有电荷流动？负电荷流动的方向怎样？流到什么情况为止？【不相等，大球电势低，会，负电荷由大球流向小球，直到两球电势相等为止】

5、两个完全相同的绝缘金属球，一个带电，一个不带电，它们相距很远。现用一根细导线把它们连接起来，试述两球的电量和电势将作怎样的变化。【电量要平分，电势要相同】

6、孤立的球形导体带正电荷 10 静库，半径为 10 厘米。求(1)在靠近球面处的场强；(2)球体的电势；(3)球体内部的场强。【(1)0.1达因/静库(2)1静伏(3)0】

7、两个绝缘金属球的半径分别为 3 厘米 和 1 厘米，它们之间的距离很大。已知大球带正电荷 15 静库。要使它们被导线连接起来时没有电荷的迁移，问小球应带多少电荷？【5静库】

2、电容器

【18】孤立导体的电容一般是很小的。地球是我们可以接触到的最大的导体，它的电容也不过 700 微法拉。9000 米半径的大球，它的电容只不过 1 微法拉，这在实际应用方面是很不方便的。此外，由于任何实际导体都不可能是孤立的，在它周围的空间里总有别的导体和电介质存在，实验和理论都证明，这种周围环境的变化总要影响实际导体的电容值，使它不能保持恒定。

【19】为了说明这种影响，让我们来叙述一下下面的实验。

【20】图1·31(a)表示一个带正电荷 Q 的金属板 A，当它的附近没有别的导体存在时，用静电计测得它的电势等于 U  。如果在它的附近另外放一个和它平行的金属板 B，如图1·31(b)所示，则静电计的指针偏转角略有减小。这就表明，尽管 A 板上的电荷并未减少，但它的电势却有了降低，显而易见这是由于电容有了增加的缘故。

【21】如果把 B 板接地，如图1·31(c)所示，此时 A 板上的电势降得更低了，也就是说电容增加得更大了。

【22】进一步的实验还指出，如果 A、B 两板之间的距离越近，则 A 板的电势降得越低，也就是说电容增加得越大。

【23】实验的结果告诉我们，在不增加导体大小的条件下，用什么方法可以来加大电容。

【24】理论和实验都还指出，当两块带等量异种电荷的平行金属板足够接近时，它们的电容就不再受周围环境的影响，而变成几乎完全恒定。

【25】所谓导体的电容恒定，就是指一定的电量总可以使它达到一定的电势，不会因周围环境的改变而时高时低。导体的电容大，就表示当它带有比较大量的电荷时它的电势并不会很高。在电学理论研究和实际应用中，我们常常要用到一种电容较大而恒定的装置。这种装置就叫做电容器。

【26】电容器的种类虽多，但原则上总是由两个互相绝缘而又互相接近的导体所组成。

【27】最简单的电容器是平行板电容器，它由两块互相绝缘的、相距很近的平行金属板所组成。应用时，两板分别带有等量异种电荷。或一板带电，另一板接地，结果也能获得同样的效果。由于异种电荷相吸，所以板上的电荷完全集中在两板的内侧，如图1·32所示。这种装置的电场近似为匀强电场，并且几乎完全局限在两板之间。即使在它的周围有别的导体存在，也不受静电感应的作用。这种装置的电容是常定的；当它带有一定电量的电荷时，总有一定的电势，不会因周围环境发生变化而有所增减。

【28】电容器的两个带异种电荷的金属板，叫做电容器的极板，带正电的叫做正极板，带负电的叫做负极板。一个极板所带电荷的电量，叫做电容器所带的电量。

3、电容器的电容

【29】把电容器的两个极板，分别和静电计的外壳 K 和顶球 A 相连（如图1·33所示）。如果电容器极板中有一个接地，那么就把不接地的那一个极板和静电计的顶球连接在一起，并把静电计的外壳接地（如图1·31(c)所示）。这样一来，静电计指针的偏转角度就直接表示电容器两极板之间的电势差 V  。实验指出，在不改变电容器本身条件的情况下，极板间的电势差 V 跟电容器所带电量 Q 成正比，也就是 Q 和 V 的比恒定不变。这个恒量的大小，完全决定于电容器的性质，叫做电容器的电容，并且规定：电容器的电容等于所带电荷的电量跟两极板间电势差的比。用公式表示，即为  。

【30】当 V＝1 静伏 时，C＝Q；所以我们也可以说：电容器的电容在数值上等于使两极板间电势差升高 1 单位所需要的电量。

【31】电容器的电容究竟由哪些本身条件来决定呢？

【32】为了解决这个问题，我们可以继续应用图1·33所表示的装置来进行下述实验：

【33】(1)维持电容器极板面积和所带电荷的电量不变，单独改变极板间的距离，并测出相应的电势差，结果指出：当距离增大时，电势差也加大，这表示电容在减小；当距离减小时，电势差也减小，这表示电容在加大。由此可见，平行板电容器的电容和极板间的距离有关。

【34】(2)维持电容器极板距离和所带电荷的电量不变，单独改变极板的面积，并测出相应的电势差。结果指出：面积增大时，电势差减小，这表示电容在增大；面积减小时，电势差增大，这表示电容在减小。这说明平行板电容器的电容和极板的面积有关。

【35】(3)维持电容器极板面积、距离和电量都不变，依次用介电常数 ε 不同的电介质插入两块极板之间来代替空气介质，并测出相应的电势差。结果指出：电介质的 ε 越大，电势就越小，这表示电容随着 ε 增大而增大。

【36】通过以上的实验，使我们知道：平行板电容器的电容跟极板面积、板间距离和板间电介质的介电常数有关。理论推导得出平行板电容器的电容公式如下：  。

【37】式中 ε 代表电介质的介电常数，在极板面积 S 的单位为厘米²，板间距离 d 的单位为厘米时，电容 C 的单位为静法。

习题1-9(2)

1、一个电容器，电容是 1.5×10⁻⁴ 微法拉。把它的两板接在电压（即电势差）为 90 伏特的电源上，问电容器带电多少？【40.5静库】

2、有一个电容器，当它所带电荷的电量为 Q 时，两板间的电势差为 V  。现在使它增加带电量 4×10⁻⁸ 库仑，则电势差增加 20 伏特。试求电容器的电容。【0.002微法拉】

3、有一平行板电容器，当两板之间的电介质是空气时，电容是 25 微法拉；当两板之间的电介质是白蜡时，电容是 55 微法拉。问白蜡的介电常数为多少？【2.2】

4、平行板空气电容器的板半径是 3 厘米，它的电容相当于一个直径为 1 米的金属球。求极板之间的距离。【0.045厘米】

5、什么叫做电容器？电容器的电容是用什么来量度的？什么叫做平行板电容器？平行板电容器的电容与哪些因素有关？有怎样的关系？

4、电容器的连接法

【38】在实际应用中，常常需要把儿只电容器连接起来使用，连接电容器的方法基本上只有两种——并联和串联。

(1)并联

【39】图1·34表示三个电容器并联在一起，它们的电容分别为 C₁、C₂ 和 C₃  。所谓并联就是把各个电容器的一个极板连接在一起，另一个极板另外连接在一起。充电后（即使电容器组带电后），带正电荷的各个极板电势相等，带负电荷的各个极板电势也相等；这也就是说，各个电容器的板间电势差都等于 V  。但是由于各个电容器的电容不同，所以它们的电量并不相同；如果 Q₁、Q₂ 和 Q₃ 分别表示各电容器所带的电量，则

【40】因而三个电容器所带的总电量  。

【41】如果把这个并联组看成是一个电容器，那么它的电容 C 就称为这个并联组的合电容，并且  。

【42】这就是说，电容器并联组的合电容等于各个电容器电容的总和。

【43】如果把 n 个电容都是 C₁ 的电容器并联在一起的话，那么这个并联组的合电容  。

【44】由此可见，并联组的合电容总比各个电容器原有的电容来得大。在需要电容器组能带大量电荷而不致引起过大的电势差时，常常采用并联接法。

(2)串联

【45】图1·35表示三个电容器串联在一起，它们的电容分别为 C₁、C₂ 和 C₃  。串联就是使每一个电容器的一个极板只和另一个电容器的一个极板连接。向串联组两端的极板上充等量异种电荷 Q（或向一端的极板上充电荷 Q，并把另一端的极板接地），在达到静电平衡后，其他各极板就因静电感应分别带有电荷＋Q 或－Q  。由于各个电容器的电容不同，所以它们的电势差就各不相同；如用 V₁、V₂ 和 V₃ 来表示各电容器的板间电势差，则

【46】从图上可以看出，在串联组最左侧的一根导线和电容器 C₁ 的左极板连接在一起的，它们可以看做是一个导体，因而它们的电势相等。同样的理由，电容器 C₁ 的右极板、电容器 C₂ 的左极板和它们之间的导线是一个等电势体；电容器 C₂ 的右极板、电容器C₃ 的左极板和它们之间的导线是一个等电势体；电容器 C₃ 的右极板和最右侧的导线也是一个等电势体。所以

【47】因而三个电容器的总电势差

【48】如果把这个串联组看成是一个电容器，那么它的电容 C 就称为这个串联组的合电容，并有

【49】由(1)、(2)导出  。

【50】这就是说，电容器串联组的合电容的倒数等于各个电容器电容的倒数之和。

【51】如果把 n 个电容都是 C₁ 的电容器串联在一起，那么这个串联组的合电容  。

【52】由此可见，串联组的合电容总比各个电容器原有的电容来得小。如果需要对电容器组充少量电荷就能使它获得很大的电势差，那么就采用串联接法。

例9.两个完全相同的平行板电容器，一个用空气作电介质，另一个用 ε＝2.2 的松节油做电介质。当把它们并联在一起后，给它们充电 512 静库，问它们各带电荷多少？

【解】

        假设空气电容器的电容为 C₁，所带电荷的电量为 Q₁；松节油电容器的电容为 C₂，所带电荷的电量为 Q₂  。由于电容器在并联时，各个电容器的电势差相等，所以  。

        因为电容器的电容和介电常数 ε 成正比，所以松节油电容器的电容 C₂＝2.2C₁  。把这一关系代入上式，得出

        根据题意，总电量 Q＝512 静库，所以

        解方程式(1)和(2)，得出 Q₁＝160静库；Q₂＝352静库。

例10.在实际应用中，常常应用一种由许多金属片和电介质片相间叠置而成的电容器。如果把所有的奇数金属片连接在一起，所有的偶数金属片另外连接在一起（如图1·36所示），那么它的合电容是多大呢？

【解】充电后全部奇数金属片带正电荷，全部偶数金属片带负电荷。除最上一块和最下一块金属片只有一个表面带电之外，其余各块金属片都是两个表面带电。每一片电介质和它上下两侧带异种电荷的金属片表面构成一个电容器。如果在整个系统中有 n 块电介质片，这就是一个包含 n 个电容器的并联组。每个电容器的电容，整个系统的合电容  。式中 ε 为电介质的介电常数，S 为极板的一个表面的面积，d为板间距离。

例11.如果把前题给出的系统连接如图1·37所示，则应当怎样来求它的合电容？

【解】充电后，最上一块金属片的下表面带正电荷，最下一块金属片的上表面带负电荷，其余各块的上下表面分别带等量的异种电荷。整个系统构成一个电容器串联组。每个电容器的电容，整个系统的合电容  。

习题1-9(3)

1、用 10 片锡箔跟 9 片 0.5 毫米 厚的云母片(ε＝6)组成一个平行板电容器。锡箔和云母片的面积都是 2 平方厘米。试分别求并联和串联时的合电容。【C并=172静法，C串=2.12静法】

2、A 和 B 是两只串联着的电容器，B 的电容是 A 的 2 倍。充电后，哪一个电容器的板间电势差较大？为什么？它们的比值是什么？【A，2】

3、三个完全相同的电容器，电容各等于 0.5 微法拉。现在要把它们连接起来使合电容等于 0.75 微法拉，问应当怎样连接？（画图并计算）【两只串联和另一只并联】

4、两个电容器的电容分别为 1 微法拉和 2 微法拉。串联后充电使串联组两端的电势差等于 4 静伏。求每个电容器各带多少电量？【2.4×10⁶静库】

5、平行板电容器的板间距离为 5 毫米，充电后板间电位差为 30 伏特，求板间电场的强度（看做匀强电场）。 【60伏特/厘米】

5、几种常用电容器

【53】电容器是无线电线路中不可缺少的元件之一。

【54】常用的电容器，因构造和用途的不同，可分为固定电容器、可变电容器和半可变电容器三种。

【55】电容不能随意改变的，叫做固定电容器。以蜡纸为介质的固定电容器叫做纸质电容器；以云母、陶瓷、油质等作为介质的，分别称为云母电容器、陶瓷电容器、油质电容器等，如图1·38所示。

【56】可变电容器的电容可以在一定范围内随意变动。它是由两组相对的金属片组成的。固定不动的一组叫做定片；另一组和转轴相连接，能随意转动，就叫做动片。转动动片，就改变了两组金属片相对部分面积的大小，从而可以改变它的电容。可变电容器有以空气作介质的和以固体作介质的两种，如图1·39所示。

【57】只能在小范围里改变电容的，叫做半可变电容器。常见的有云母介质和陶瓷介质的两种，如图1·40所示。