微积分（八十一）——Jacobi行列式

为了巩固前一节的知识，我们先花一节的篇幅研究一下场的性质。设有场

且、均可微。现在考虑平面上某点，它在映射后的像为。现在我们在输入点基础上作增量，则输出点成为

当增量足够小，我们能写出上式中函数的微分：

于是输出点的增量为：

这说明在输入增量足够小时，输出的增量可以看作输入增量的线性变换，上述矩阵叫做Jacobi矩阵。（请记住上面的这个式子，后面有重要用途）

也就是说，如果我们考虑平面上一小块区域，在映射之后，它就像是进行了一次线性变换一般，这完全类似于一元可导函数。我们知道，如果考虑一元可导函数，还记得那个重要的式子么？这说明它作用在数轴上就像是把数轴上各个部分按不同的比例进行拉扯，这个比例就是它的导数。原本的一段线段在映射后仍是一段线段，但它已经被拉扯过了。事实上，如果我们在这个基础上考虑数轴上等距分布且相近的几点：

这里两两之间的距离可以看作“微小增量”。则映射后它们看起来还是等距分布，只是这个"距"可能和原本不同：

看起来就像是被拉扯了一般。

我们在学习行列式（determinant）和线性变换时知道，行列式的值就是空间的伸缩程度。因此，我们利用其行列式

这个二元函数就可以计算出空间各点附近区域在映射下的伸缩程度。上述行列式叫做Jacobi行列式，可能有同学已经看出它就是教科书里多重积分换元时莫名其妙用到的一个重要行列式。经过本节的几何解释，读者可以大概感受到为什么多重积分换元需要用到这个式子了。