复旦大学谢启鸿老师高等代数在线习题课思考题分析与解 ep.31

2021-10-21 13:22 作者:CharlesMa0606 0人读过 | 我要投稿

本文内容主要有关于线性映射及其运算，在高代白皮书上对应第4.2.1节

题目来自于复旦大学谢启鸿教授在本站高等代数习题课的课后思考题，本文仅供学习交流

本人解题水平有限，可能会有错误，恳请斧正！

练习题1(17级高代期末考试第六大题) 设 $M_n%5Cleft(K%5Cright)$ 为数域 $K$ 上的 $n$ 阶方阵全体构成的线性空间， $A%2CB%5Cin%20M_n%5Cleft(K%5Cright)$ , $M_n%5Cleft(K%5Cright)$ 上的线性变换 $%5Cvarphi$ 定义为 $%5Cvarphi%5Cleft(X%5Cright)%3DAXB$ .证明： $%5Cvarphi$ 是幂零线性变换的充要条件是 $A%2CB$ 中至少有一个是幂零阵.

分析与解 注意到 $%5Cvarphi$ 是幂零线性变换即 $%5Cexists%20m%5Cin%20N%5E%5Cast%2Cst.A%5EmXB%5Em%3DO%2C%5Cforall%20X%5Cin%20M_n%5Cleft(K%5Cright)$

于是充分性显然，我们只需要证明必要性.

考虑基础矩阵，有：

$%5Cleft(A%5EmE_%7Bij%7DB%5Em%5Cright)_%7Bkl%7D%3Da_%7Bki%7Db_%7Bjl%7D%3D0$

从而 $a_%7Bij%7Db_%7Bkl%7D%3D0%2C%5Cforall%20i%2Cj%2Ck%2Cl$ ， $%E5%85%B6%E4%B8%ADa_%7Bij%7D%2Cb_%7Bkl%7D%E6%98%AFA%5Em%2CB%5Em%E7%9A%84%E7%AC%AC%5Cleft(i%2Cj%5Cright)%2C%5Cleft(k%2Cl%5Cright)%E5%85%83%E7%B4%A0.$

若 $%5Cexists%20a_%7Bij%7D%5Cneq0%0A$ ，则 $b_%7Bkl%7D%3D0%2C%5Cforall%20k%2Cl%0A%0A$ ，于是 $B%5Em%3DO$ .

所以 $A%2CB$ 中至少有一个是幂零阵.

练习题2(17级高代I期末考试第七大题) 设 $U%2CV%2CW$ 均为数域上的非零线性空间, $%5Cvarphi%3AV%5Crightarrow%20U$ 和 $%5Cpsi%3AU%5Crightarrow%20W$ 是线性映射，满足 $r%5Cleft(%5Cpsi%5Cvarphi%5Cright)%3Dr%5Cleft(%5Cvarphi%5Cright)$ .证明：存在线性映射 $%5Cxi%3AW%5Crightarrow%20U$ ，使得 $%5Cxi%5Cpsi%5Cvarphi%3D%5Cvarphi$ .

分析与解 不妨设 $r%5Cleft(%5Cpsi%5Cvarphi%5Cright)%3Dr%5Cleft(%5Cvarphi%5Cright)%3Dr$ ，取 $Im%5Cvarphi$ 的一组基 $%5C%7Be_1%2C%5Ccdots%2Ce_r%5C%7D$ ， $Im%5Cpsi%5Cvarphi$ 的一组基 $%5C%7Bf_1%2C%5Ccdots%2Cf_r%5C%7D$

任取 $%5Calpha%5Cin%20Im%5Cvarphi$ ，不妨设为 $%5Calpha%3Dc_1e_1%2B%5Ccdots%2Bc_re_r$

从而：

$%5Cpsi%5Cleft(%5Calpha%5Cright)%3Dc_1%5Cpsi%5Cleft(e_1%5Cright)%2Bc_2%5Cpsi%5Cleft(e_2%5Cright)%2B%5Ccdots%2Bc_r%5Cpsi%5Cleft(e_r%5Cright)%3D%5Clambda_1f_1%2B%5Clambda_2f_2%2B%5Ccdots%2B%5Clambda_rf_r%5Cin%20Im%5Cpsi%5Cvarphi$

于是 $%5Cpsi%5Cleft(e_1%5Cright)%2C%5Cpsi%5Cleft(e_2%5Cright)%2C%5Ccdots%2C%5Cpsi%5Cleft(e_r%5Cright)$ 线性无关，即它是 $Im%5Cpsi%5Cvarphi$ 的一组基.

注意到 $e_1%2C%5Ccdots%2Ce_r%5Cin%20Im%5Cvarphi$ ，

从而存在 $r$ 个线性无关的向量 $%5Cnu_%7Bi%7D%2Cst.%20e_%7Bi%7D%3D%5Cvarphi(%5Cnu_%7Bi%7D)(%5Cforall1%5Cleq%20i%5Cleq%20r)$

我们构造线性映射 $%5Cxi%3AW%5Crightarrow%20U$ 如下，只需要考虑 $V$ 上基向量的取值，有：

$%5Cxi%5Cpsi%5Cvarphi%5Cleft(%5Cnu_i%5Cright)%3D%5Cxi%5Cpsi%5Cleft(e_i%5Cright)%3D%5Cvarphi%5Cleft(e_i%5Cright)%2C%5Cxi%5Cpsi%5Cvarphi%5Cleft(u_i%5Cright)%3D%5Cxi%5Cpsi%5Cleft(0%5Cright)%3D0.$

于是存在线性映射 $%5Cxi%3AW%5Crightarrow%20U$ ，使得 $%5Cxi%5Cpsi%5Cvarphi%3D%5Cvarphi$ .

练习题3 设 $V$ 是有理数域上的三维线性空间， $%5Cvarphi$ 是 $V$ 上的线性变换并且满足条件

$%5Cvarphi%5Cleft(%5Calpha%5Cright)%3D%5Cbeta%2C%5Cvarphi%5Cleft(%5Cbeta%5Cright)%3D%5Cgamma%2C%5C%20%5C%20%5Cvarphi%5Cleft(%5Cgamma%5Cright)%3D%5Calpha%2B%5Cbeta$

求证：若 $%5Calpha%5Cneq0$ ，则 $%5Calpha%2C%5Cbeta%2C%5Cgamma$ 是线性无关的向量.

分析与解 我们先设 $%5Calpha%2C%5Cbeta$ 线性相关，即 $%5Calpha%3Dk%5Cbeta%2Ck%5Cin%20Q$ ，代入条件，有：

$%5Cgamma%3Dk%5E2%5Calpha%2Ck%5E3%5Calpha%3D%5Calpha%2Bk%5Calpha$

注意到于是得到方程 $k%5E3-k-1%3D0$ ，由高代白皮书例5.45，因为 $f(0)%2Cf(1)$ 是奇数，所以原方程没有有理根.从而必线性无关.下设 $%5Cgamma%3Dk%5Calpha%2Bl%5Cbeta%2Ck%2Cl%5Cin%20Q$ ，代入有：

$%5Cvarphi%5Cleft(%5Cgamma%5Cright)%3Dk%5Cvarphi%5Cleft(%5Calpha%5Cright)%2Bl%5Cvarphi%5Cleft(%5Cbeta%5Cright)%3Dk%5Cbeta%2Bl%5Cleft(k%5Calpha%2Bl%5Cbeta%5Cright)%3Dkl%5Calpha%2B%5Cleft(k%2Bl%5E2%5Cright)%5Cbeta%3D%5Calpha%2B%5Cbeta$

移项，有: $%5Cleft(kl-1%5Cright)%5Calpha%2B%5Cleft(k%2Bl%5E2-1%5Cright)%5Cbeta%3D0$ ，注意到线性无关，于是得到方程：

$l%5E3-l%2B1%3D0$

这个方程也没有有理根，从而它们是线性无关的向量.

练习题4(14级高代I每周一题第7题) 设 $A$ 是有理数域 $Q$ 上的 $4$ 阶方阵， $%5Calpha_1%2C%5Calpha_2%2C%5Calpha_3%2C%5Calpha_4$ 是 $Q$ 上的 $4$ 维列向量，满足：

$A%5Calpha_1%3D%5Calpha_2%2CA%5Calpha_2%3D%5Calpha_3%2CA%5Calpha_3%3D%5Calpha_4%2CA%5Calpha_4%3D-%5Calpha_1-%5Calpha_2-%5Calpha_3-%5Calpha_4.$

证明：若 $%5Calpha_1%5Cneq0$ ,则 $%5C%7B%5Calpha_1%2C%5Calpha_2%2C%5Calpha_3%2C%5Calpha_4%5C%7D$ 是 $4$ 维列向量空间 $Q%5E%7B4%7D$ 的一组基.

分析与解 若 $%5Calpha_1%2C%5Calpha_2$ 线性相关，不妨设 $%5Calpha_2%3Dk%5Calpha_1%2Ck%5Cin%20Q$ ，代入得：

$%5Calpha_3%3Dk%5E2%5Calpha_1%2C%5Calpha_4%3Dk%5E3%5Calpha_1%2CA%5Calpha_4%3Dk%5E4%5Calpha_1$

因为 $%5Calpha_1%5Cneq0$ 从而得到方程组： $k%5E4%2Bk%5E3%2Bk%5E2%2Bk%2B1%3D0$ ，这个方程没有有理根，于是 $%5Calpha_1%2C%5Calpha_2$ 线性无关.

若 $%5Calpha_1%2C%5Calpha_2%2C%5Calpha_3$ 线性相关,则不妨设 $%5Calpha_3%3Dk%5Calpha_1%2Bl%5Calpha_2%2Ck%2Cl%5Cin%20Q$ ，同样代入得

$%5Calpha_4%3DA%5Calpha_3%3Dkl%5Calpha_1%2B%5Cleft(k%2Bl%5Cright)%5Calpha_2%2CA%5Calpha_4%3Dk%5Cleft(k%2Bl%5Cright)%5Calpha_1%2B%5Cleft(2kl%2Bl%5E2%5Cright)%5Calpha_2$

于是可以得到方程组：

$%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dk%5E2%2Bk%2B2kl%2B1%3D0%5C%5Cl%5E2%2B2kl%2B1%2B2l%2Bk%3D0%5C%5C%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$

整理得： $3k%5E4%2B2k%5E3%2Bk%5E2%2B2k-1%3D0$

这个方程没有有理根，从而 $%5Calpha_1%2C%5Calpha_2%2C%5Calpha_3$ 线性无关.下设 $%5Calpha_4%3Dk%5Calpha_1%2Bl%5Calpha_2%2Br%5Calpha_3$ ，同样代入可以得到方程：

$k%5E4%2Bk%5E3%2Bk%5E2%2Bk%2B1%3D0$

这个方程也没有有理根，从而 $%5C%7B%5Calpha_1%2C%5Calpha_2%2C%5Calpha_3%2C%5Calpha_4%5C%7D$ 是 $4$ 维列向量空间 $Q%5E%7B4%7D$ 的一组基.

推广设 $A$ 是有理数域上的 $p-1$ 阶方阵(其中 $p$ 为素数), $%5Calpha_1%2C%5Ccdots%2C%5Calpha_%7Bp-1%7D$ 是 $Q$ 上的 $p-1$ 维列向量，满足：

$A%5Calpha_1%3D%5Calpha_2%2C%5Ccdots%2CA%5Calpha_%7Bp-1%7D%3D-%5Calpha_1-%5Ccdots-%5Calpha_%7Bp-1%7D$

则若 $%5Calpha_1%5Cneq0$ ，则 $%5Calpha_1%2C%5Ccdots%2C%5Calpha_%7Bp-1%7D$ 是有理数域上的 $p-1$ 维列向量空间 $Q%5E%7Bp-1%7D$ 的一组基.

参考资料

1.复旦大学谢启鸿高等代数习题课_哔哩哔哩_bilibili

2.谢启鸿高等代数博客(https://www.cnblogs.com/torsor/)

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