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为什么三角形三个不同底分别乘以对应的高等于同一个面积值

2021-04-02 11:53 作者:牛顿不懂莱布尼兹  | 我要投稿

题目:为什么三角形三个不同的底分别乘以对应的不同的高等于同一个面积值



       对于接触过三角形面积公式的同学肯定会有对老师说过的一句话感到疑惑,那就是“三角形三个边都可以当作底”,细心的同学会发现为什么三个边和高都不一样为啥用面积公式算出来的值相等而且数值就是三角形的面积呢?针对这一问题我们来分析一下。



【分析】:


1,三角形ABC面积表述为S=1/2 AD•BC=1/2 BE•AC=1/2 CF•AB

2,简化以后表述为:AD•BC= BE•AC= CF•AB=定值(三角形ABC的面积的2倍)

3,我们回忆所学过的知识发现和要证明的等式很像的就是三角形相似,对应边成比例,而且高线中还有直角,所以我们接下来开始证明。

图1



【证明】:如图1所示AD. BE. CF. 分别为BC. AC. AB上的高

∵在Rt△ABC与Rt△ACF中有

∠BAE=∠CAF

∴Rt△ABE∽Rt△ACF

∴AB/AC=BE/CF

即AB•CF=AC•BE①

同理有

Rt△ACD∽Rt△BCE

即AC/BC=AD/BE②

即AC•BE=AD•BC 

∴由①②得 AC•BE=AB•CF=AD•BC  ③

∵三角形面积公式即为底边乘上对应的高的一半

∴③的值即为三角形ABC面积的二倍

∴S=1/2 AD•BC=1/2 BE•AC=1/2 CF•AB


【结果】:所以三角形的任意三边都可做为底去求面积,而且最后三角形面积的结果是一样的。



【思考】:三角形面积公式是平行四边形分割(三角形全等)得来的,平行四边形的面积公式是由矩形分割,拼接(三角形全等)得来的,所以求三角形面积实际上是在求对应矩形的面积,而矩形面积的定义是长乘以宽,其中隐含了长和宽是垂直的,所以求三角形面积时才会出现做底边的高线,长乘以宽其实就是③中的底乘以对应的高,定值等于2S的意思是说矩形是其对应三角形的面积的2倍。


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