Scratch与数学的整合14

                    第14课    函数的单调性

 一、课程导入

        本节课你将会学到：如何判断的函数单调性 ？

二、知识储备

        1、函数单调性的描述：当函数f（x）的自变量在其定义区间内增大或减小时，函数值f（x）也在该区间上具有单调性。

        2、单调函数定义：一般地，设一连续函数f（x）的定义域为D，则如果对于定义域D内某个区间上的任意两个自变量的值x1，x2∈D且x1＞x2，都有f（x1）＞f（x2），那么就说f（x）在这个区间上是增函数，反之就说f（x）在这个区间上是减函数（注：最后一句是我缩写了，你们在回答函数单调性定义是必须回答全）。

三、探究新知

        1、如果按照这样原方不动地直接上去理解的话，确实挺难的，∵它实在是太抽象了（这里的“单调”不是说它函数挺单调的）。我们不妨列举几个简单的函数，看看他们的增减性。

        2、首先看图（1）。这是一个正比例函数

                                    图1

图象。图像中的（x1，y1）点的x坐标和y坐标都处于最小值，但再往右看，x的坐标值越大，y的坐标值越大，一直到（x2，y2）为止。像这样的变化，我们就管它叫“y随x的增大而增大”。

       接着看图（2）。图像中的（x1，y1），

                                     图2

（x4，y4）每个x，每个y均处于最小值。但无论是第二象限还是第四象限，都是自变量x越大，y的自变量越小。像这样的变化，我们就管它叫“y随x的增大而减小”。

       最后看图（3）。这是一个二次函数图像。

                                                    图3

       图像关于y轴对称，∴要分类讨论。先看y轴左侧，其x，y最小值在（x1，y1）处，而在抛物线上的点离y轴越是近，x1的自变量越小，同时y1的因变量越小。到（x2，y2）之后还要看y轴右侧，（x3，y3）是整个图像x，y的最大值处，而y轴右侧和y轴左侧相反，x自变量越大，y因变量越大。像这样的变化，我们就管它叫“在y轴左侧，y随x的增大而减小；在y轴右侧，y随x的增大而增大”。

          2、由于函数的单调性也叫函数的增减性，是研究函数自变量x与因变量y之间的变化关系。那我们可以试想一下，假如我把图（1）中的（x1，y1）作为函数f（x1）所取的一点，（x2，y2）作为函数f（x2）所取的一点，那么是否可以充分证明f（x1）＜f（x2）呢？当然可以。∵在平面直角坐标系中，越往下y坐标越小，越往左x坐标越小，反之同理，这样的猜想与前面分析的增减性不矛盾，进而与开头所说的函数的单调性定义相符，∴能得证图1是增函数。另外我们知道求函数f（x）的值就是求函数表达式中y的值，而作差就是比较大小的一种方法。较大数减较小数得正数，反之得负数，也就是说，f（x2）-f（x1）＞0，则该函数是增函数，f（x2）-f（x1）＜0，则该函数是增函数。在研究函数单调性中一般不包括f（x1）=f（x2）。用这样的思想来编写程序，会简单许多。

四、流程图讲解

        以前我们提到过，对数有意义的条件是loga（x）中的x＞1且x≠0，那么同样的，我们要判断对数函数f（x）=loga（x）的单调性，具体该怎么编程呢？我们看图4。

                                                   图4

       首先程序开始。把f（x）的x分解成x1，x2，它们各自是f（x）=log（x）的两个数值，无论是哪个x，都要判断它是否大于1且不等于0，一个判断为“真”则判断下一个，若第二个判断也为真则接下来询问并回答f1，f2的值，即logx1，logx2的结果，再接下来如果x1=x2则执行“无法判断单调性”，此时停止脚本，否则判断f1是否大于f2，若f1＞f2，则接下来执行“f（x）是增函数”，否则执行“f（x）是减函数”。最后程序结束。

五、变量信息

        x1、x2、f1、f2、函数的单调性

六、代码示例

        （0）——（2）：询问并回答x1的值，准备判断框内输入的x1是否有意义，即回答的数值大于1且不等于0。（3）为上面的判断语句，若输入值有意义则继续（4）——（5），否则跳到（26）——（28）。

当绿旗被点击    （0）

询问请输入x1    （1）

将x1设为回答    （2）

如果0＜回答＜1或回答＞1那么    （3）←最外层判断

        （4）——（5）是对x2进行询问并回答，（20）——（22）是说：“对数不可能等于1或小于0，对数无意义”过2秒后停止脚本。在输入框内输入相应数值后，看x2的值是否有意义，由（6）来判断，该代码同判断x1是否有意义。否则跳到（20）——（25）。

询问请输入x2    （4）

将x2设为回答    （5）

如果0＜回答＜1或回答＞1那么    （6）←第二层判断

将f1设为log10（x1）   （7）

将f2设为log10（x2）    （8）

        从（9）开始判断函数的单调性。如果f1=f2则接下来执行（10）——（11），否则跳到（12）。

如果f1=f2那么    （9）←第二层判断

说：“f（x1）和f（x2）是完全相同的函数，无法判断单调性。”    （10）

将函数的单调性设为无法判断    （11）

        最后比较f1和f2谁大，如果f1更大直接执行（13）——（16），否则直接执行（17）——（19）。

否则    （12）←第三层判断

如果f1＞f2那么    （13）←最外层判断

说：“f1＞f2，f（x）在这个区间上是增函数。”    （14）

将函数的单调性设为单调递增    （15）

否则    （16）←最外层判断

否则    （17）←第三层判断

说：“f1＜f2，f（x）在这个区间上是减函数”    （18）

将函数的单调性设为单调递减    （19）

说：“对数x2不可能等于1或小于0，对数无意义。”2秒    （20）

等待1秒    （21）

停止全部脚本    （22）

否则    （23）←第二层判断

等待1秒    （24）

停止全部脚本    （25）

说：“对数x2不可能等于1或小于0，对数无意义。”2秒    （26）

等待1秒    （27）

停止全部脚本    （28）