数学物理方法公式（10）：Legendre多项式

2023-03-22 14:51 作者:打电动的阿伟嘻嘻嘻 0人读过 | 我要投稿

首先给出Legendre多项式的通式 $l%5Cin%5C%7B0%2C1%2C2%2C%5Ccdots%5C%7D$

$P_l(x)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5El%7D%5Csum%5E%7B%5B%5Cfrac%7Bl%7D%7B2%7D%5D%7D_%7Bm%3D0%7D(-1)%5Em%5Cfrac%7B(2l-2m)!%7D%7Bm!(l-m)!(l-2m)!%7Dx%5E%7Bl-2m%7D%2C$ 称为l阶Legendre多项式.

我们给出前几项

$P_0(x)%3D1%2C%5C%20P_1(x)%3Dx%2C%5C%20P_2(x)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D(3x-1)%2C$

$P_3(x)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D(5x%5E3-3x)%2C%5C%20P_4(x)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B8%7D(35x%5E4-30x%5E2%2B3)%2C%5C%20P_5(x)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B8%7D(63x%5E5-70x%5E3%2B15x).$

性质：

（1）： $l%E4%B8%BA%E5%81%B6%E6%95%B0%2C%20P_l(x)%E6%98%AF%E5%81%B6%E5%87%BD%E6%95%B0%3Bl%E4%B8%BA%E5%A5%87%E6%95%B0%2CP_l(x)%E6%98%AF%E5%A5%87%E5%87%BD%E6%95%B0.$

（2）： $P_l(x)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5El%20l!%7D%5Cfrac%7Bd%5El%7D%7Bdx%5El%7D(x%5E2-1)%5El.$

（3）： $P_l(x)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cpi%7D%5Cint%5E%7B%5Cpi%7D_%7B0%7D(x%2B%5Csqrt%7Bx%5E2-1%7D%5Ccos%5Cphi)%5Eld%5Cphi.$

（4）： $%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B1-2rx%2Br%5E2%7D%7D%3D%5Csum%5E%7B%5Cinfty%7D_%7Bl%3D0%7DP_l(x)r%5El%2C%5C%20%7Cx%7C%5Cle1%2C%5C%20%7Cr%7C%5Cle1.$

递推公式： $n%5Cin%20%5Cmathbb%7BZ%7D%5E%7B%2B%7D$

（1）： $(n%2B1)P_%7Bn%2B1%7D(x)%3D(2n%2B1)xP_n(x)-nP_%7Bn-1%7D(x).$

（2）： $P_n(x)%3DP_%7Bn%2B1%7D%5E%7B%5Cprime%7D(x)-2xP%5E%7B%5Cprime%7D_%7Bn%7D(x)%2BP%5E%7B%5Cprime%7D_%7Bn-1%7D(x).$

（3）： $xP%5E%7B%5Cprime%7D_%7Bn%7D(x)-P%5E%7B%5Cprime%7D_%7Bn-1%7D(x)%3DnP_%7Bn%7D(x).$

（4）： $P%5E%7B%5Cprime%7D_%7Bn%2B1%7D(x)-P%5E%7B%5Cprime%7D_%7Bn-1%7D(x)%3D(2n%2B1)P_%7Bn%7D(x).$

（5）： $nP%5E%7B%5Cprime%7D_%7Bn%2B1%7D(x)%2B(n%2B1)P%5E%7B%5Cprime%7D_%7Bn-1%7D(x)%3D(2n%2B1)xP%5E%7B%5Cprime%7D_%7Bn%7D(x).$

正交完备性：

$%5Cint%5E1_%7B-1%7DP_l(x)P_m(x)dx%3D%5Cfrac%7B2%7D%7B2l%2B1%7D%5Cdelta_%7Blm%7D.$

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