证明“ lim[ f（x）/g（x）]=lim f（x）/lim g（x） ”

牛顿319、证明“ lim[ f（x）/g（x）]=lim f（x）/lim g（x） ”

2021年1月5日，网友“稻草人”发表名为《极限——极限运算法则证明》的图片文章。

…极、限、极限：见《欧几里得202~321》…

（…《欧几里得》：小说名…）

…运、算、运算：见《欧几里得121》…

…法、则、法则：见《欧几里得108》…

…证、明、证明：见《欧几里得6》…

 

图片内容：…

…内、容、内容：见《欧几里得66》…

 

定理3：

如果lim f（x）=A，lim g（x）=B，那么：

[…lim：limit…

…limit（英文）：n.限度；限制；极限；限量；限额；（地区或地方的）境界，界限，范围

v.限制；限定；限量；减量…]

 

（1）lim[ f（x）±g（x）]=lim f（x）±lim g（x）=A±B

…证明见《牛顿317》。

（2）lim[ f（x）g（x）]=lim f（x）lim g（x）=AB

…证明见《牛顿317》。

 

（3）若又有B≠0，则lim[ f（x）/g（x）]=lim f（x）/lim g（x）=A/B

 

证明：∵ lim f（x）=A，lim g（x）=B

 

根据“在自变量的同一变化过程x→x0（x→∞）中，函数f（x）具有极限A的充分必要条件是f（x）=A+α，其中α是无穷小”（证明见《牛顿309》），得：

 f（x）=A+α，g（x）=B+β（α，β都是无穷小）

…α：Alpha（大写Α，小写α，中文音译：阿尔法、阿拉法），是第1个希腊字母…

…无、穷、无穷，小，无穷小：见《牛顿280》…

…β：beta（大写Β，小写β，中文音译：贝塔），是第2个希腊字母…

设γ=（A+α）/（B+β）-A/B=1/[B（B+β）]·（Bα-Aβ）

…γ：第三个希腊字母，读做“伽（gā）马”，小写为γ，大写Γ…

 

这表示，γ可看作两个函数的乘积，其中（Bα-Aβ）是无穷小。

…两个无穷小的差是无穷小（证明见《牛顿315》）。

 

下面我们证明1/[B（B+β）]在x0的某个领域内有界。

…有、界、有界：见《牛顿304》…

 

由“如果（x→x0）lim f（x）=A（A≠0），那么就存在着x0的某一去心邻域u（去心）（x0），当x∈u（去心）（x0），有|f（x）|＞|A|/2”（证明见《牛顿318》）可知：

当lim g（x）=B≠0时，存在着x0的某一去心邻域u（去心）（x0），当x∈u（去心）（x0），有|g（x）|＞|B|/2，从而|1/g（x）|＜2/|B|，于是

|1/[B（B+β）]|=1/|B|·1/|B+β|=1/|B|·1/| g（x）|＜1/|B|·2/|B|=2/B^2，即|1/[B（B+β）]|＜2/B^2

…∈：属于…见《牛顿303》…

…^：乘方…

…ε^2：ε的平方…

[“在自变量的同一变化过程x→x0（x→∞）中，函数f（x）具有极限A的充分必要条件是f（x）=A+α，其中α是无穷小”（证明见《牛顿309》）]

 

这就证明了1/[B（B+β）在点x0的某个邻域内。

根据“有界函数与无穷小的乘积是无穷小”（证明见《牛顿316》）得：γ是无穷小。

 

∵ γ=（A+α）/（B+β）-A/B；

f（x）=A+α，g（x）=B+β。

∴ γ=f（x）/g（x）-A/B

f（x）/g（x）=A/B+γ

 

∴ lim [f（x）/g（x）]=A/B=lim f（x）/lim g（x），证毕。

 

推论1：如果lim f（x）存在，c为常数，那么lim [cf（x）]=c lim f（x）

…推、论、推论：见《欧几里得66》…

 

证明：设lim [cf（x）]=A，则根据“在自变量的同一变化过程x→x0（x→∞）中，函数f（x）具有极限A的充分必要条件是f（x）=A+α，其中α是无穷小”（证明见《牛顿309》）得：

cf（x）=A+α（α是无穷小）

∴ f（x）=A/c+α/c

 

∵ 无穷小与常数的乘积是无穷小（证明见《牛顿316》）。

∴ α/c是无穷小。

 

∴ lim f（x）=A/c

∴ c lim f（x）=A=lim [cf（x）]，即lim [cf（x）]=c lim f（x）

“推论2：如果lim f（x）存在，n是正整数，那么lim [ f（x）]^n=[lim f（x）]^n

请看下集《牛顿320、证明“ lim [ f（x）]^n=[lim f（x）]^n ”》”

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