信道容量的几个易混淆的公式

本文章试图把信道容量背后的物理思想做一下解释，或者说是本人的一个粗浅理解。

录制的视频在：https://www.bilibili.com/video/BV1dg4y1E7oM/

首先我们抛出几个我之前经常碰到但是迷惑的信道容量公式：

以及

我们来逐个分析一下，公式 (1) 是后面两个的基础，这个公式的推导是基于如下这个信道模型来推导的：

其中  是信道的输入，下标 i 表示第 i 时刻的输入，  是信道的输出，  是高斯白噪声。 这三个量都是实数，不是复数。根据信息论中的互信息和信息熵等概念和公式，可以得出上面这个信道的信道容量为公式 (1)，具体的证明可以参考[1] 9.1节的推导过程。

下面这个是本文想重点说的思想：上面这个信道模型(4)，可以理解为在一个周期内通过 cosine 波形传输信息的信道，即在现实中或者物理线路中，通过 cosine 波形来传递信息。例如  用四种 cosine 的电平来传递信息，每个电平就可以携带两个比特的信息。 我们又知道，在与这个 cosine 同样频率下的 sine 波形，是与 cosine 波形正交的，那么在同一个时间内，我们也可以用 sine 波形来传递信息（与同频的 cosine 波形同时传），因为 cosine 与 sine 正交，所以，两者不会相互干扰。

      所以，在 1Hz 内，我们可以有两个如 (4) 这样的信道，所以，其 1Hz 能传输的最大数据量就是 (1) 的两倍，所以，就得到了公式 (3) ，公式 (3) 这个容量值的单位是 bits per second per Hz.

     至此，来理解公式(2) 就比较容易了，假设我们的物理带宽（实际占用的频率范围，注意：是正的频率，不是负的频率）为 W 赫兹，那么在这个带宽内的信道容量就是公式 (2)，其单位是 bits per second.

    用图形可以表示为：

[1] Elements of Information Theory - T M Cover- Second Edition