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把图画准，问题自解（2018课标Ⅰ，11）

2023-01-05 10:48 作者:数学老顽童 0人读过 | 我要投稿

（2018课标Ⅰ，11）已知双曲线 $C$ ： $%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B3%7D-y%5E2%3D1$ ， $F$ 为 $C$ 的右焦点，过 $F$ 的直线与 $C$ 的两条渐近线的交点分别为 $M$ 、 $N$ ，若 $%5Cbigtriangleup%20OMN$ 为直角三角形，则 $%5Cvert%20MN%20%5Cvert%20%3D$ （）

A. $%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D$

B. $3$

C. $2%5Csqrt%7B3%7D$

D. $4$

解：易知 $%5Ctan%20%20%5Cangle%20MOF%3D%5Cfrac%7Bb%7D%7Ba%7D%3D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B3%7D%7D%7B3%7D$ ，

所以 $%5Cangle%20MOF%3D%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%7D%7B6%7D$ ，

所以 $%5Cangle%20NOF%3D%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%7D%7B6%7D$ ，

所以 $%5Cangle%20MON%3D%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B3%7D%20$ ，

所以 $%5Cangle%20MON$ 不是直角，

故不妨设 $%5Cangle%20OMN$ 为直角（如图）

所以 $%5Cangle%20MNO%3D%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%7D%7B6%7D$ ，

所以 $%5Cleft%7C%20NF%20%5Cright%7C%3D%5Cleft%7C%20OF%20%5Cright%7C%3Dc%3D2$ ，

$%5Cleft%7C%20MF%20%5Cright%7C%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cleft%7C%20OF%20%5Cright%7C%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dc%3D1$ ，

所以 $%5Cvert%20MN%20%5Cvert%20%3D%5Cvert%20MF%5Cvert%20%2B%5Cvert%20NF%20%5Cvert%20%3D%5Ccolor%7Bred%7D%7B3%7D$ .

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