静电场（五）

这篇文章接着上期讲电势梯度，并补充一些计算场强、电势的模型。这里是上期文章传送门，讲的是电势能、电势与等势面。静电场（四）

上期最后我们说要把电势与电场强度两个描述静电场的重要物理量联系起来学习，这里我们引入电势的梯度。空间任一坐标的属性可由一个标量确定，我们就获得了空间中的标量场。电势是标量，空间中每一点有一电势值，因此有电势的标量场。所谓“梯度”，指一个物理量在空间中的变化率，也就是对空间坐标求导。下面我们来研究电势梯度。

如图，取1、2两个靠得很近的等势面，任取两点P1、P3，设其长度为l，取U对此求偏导，又称U沿P1P3=Δl的方向导数。再在两等势面间取垂直矢量P1P2=Δn，并沿着电势增加的方向，U对此求偏导。我们来比较它们的大小关系，由于两面靠得近，我们可以认为n=lcosθ，可见，U在Δl上的偏导最大。我们把大小等于，方向沿Δn的矢量称为电势梯度，记作gradU或 ∇U，其他方向的偏导就是梯度在该方向的投影。

易得，场强等于电势梯度的负值，即E=-∇U。为什么是负的呢？因为电势沿场强减小。如果是某个方向的投影，那就求个偏导。这样，我们就能根据电势分布求场强了。这样算有一个优越性，就是静电场的电势为标量，标量叠加远比矢量叠加来的方便，我们算出电势然后求电势梯度即可。（如果是磁场，那就不行了，它没有标势，只有矢势）

下面我们较为具体地写一下坐标表示：

看两个例题：

上期我们算出了电偶极子远处的电势分布，让我们用这个结果来反推一下电场强度分布。

从这个结果我们看出，它其实采用了球坐标系，只是与φ无关。我们可以得出场强的三个分量：

下一个例题，求均匀带电圆形线（R，λ）轴线上电场强度分布。

在轴线上任一点，圆形线上每一小段对其电势都是相等的，那就很好算啦：

关于静电场最为基础的部分马上要结束了，我们再稍微补充一些常见的模型吧。这些东西看起来可能很高级，你自己想估计也比较难想到，但这毕竟只是一些技巧了，多看看多算算，也就会了。贴一些图，自己看看吧，手打太累了。只给场强吧，电势这种东西，要么一眼看出来，要么把场强积到无穷远，也就有了。

（至于这个均匀极化的事，目前不用管）

这一节到这里就结束了。三连哦