关于广义预测误差方差分解数学推导的个人理解
几个月前我翻译了一个介绍DY溢出指数的油管视频，不少人收藏，还是挺意外的（喜）。
up的本科毕设就是基于方差分解法的溢出效应研究，当初搜到有讲解DY溢出指数的视频还是挺激动的，可惜的是视频里并没有对GFEVD的数学推导进行说明，我自己前前后后也是搜索了大量文献资料才勉强补完了自己的理解。不便展示论文内容，但可以简单说一下我对这个模型数学推导的理解。
DY中所使用的广义预测误差方差分解特指PesaranShin-GFEVD[1]，其目的是计算VAR系统中任一内生变量预测误差的方差受到来自系统内不同变量冲击影响的解释比例，这个“冲击”是用Koop等提出的广义脉冲响应函数GIRF模拟实现的[2]。由于水平有限，Koop的那篇我实在看不懂，但我觉得并不影响后续的理解，可以直接看Pesaran/Shin的文章。
从常见的VAR模型形式即自回归式（y=μ+ΣAx+u）推导到DY2012公式(1)的那坨东西，需要经历以下过程：
对VAR的自回归式进行Wold分解，得到VAR模型的移动平均形式（VMA，y=φ+ΣBu），原来x的系数矩阵A变成了同尺寸的移动平均系数矩阵B，u即原来的扰动项序列（φ是Wold分解出的趋势项部分在后续没有用到，可以不管）。矩阵B可以由矩阵A计算得来，两者满足的是一种递归关系。
做这种变换的原因，一种说法是“VMA形式的VAR模型更便于研究系统内各变量之间的相互影响”。DY2012公式(1)中体现VAR模型信息的地方就是矩阵B，之后DY公式分子分母的计算都需要用到矩阵B。
关于这部分的具体公式可以阅读此网页[3]，涉及部分“1.4 Wold decomposition”和“2 Moving average representation of a VAR”。
广义预测误差方差分解本质是计算在“比例”，等于“部分”除以“整体”。
假设这个“比例”表示的是变量i（的预测误差方差）由变量j所解释的比例，那么“整体”（分母）指代VAR模型总的（H步）预测误差方差中属于变量i的部分，“部分”（分子）指代对变量j进行冲击后产生的脉冲响应值中属于变量i的分量（是冲击后t+1到t+H各时刻脉冲响应值的加总，也是H步）。
我表述成“xx中属于xx的部分”，是因为原式就是用左乘和右乘选择向量e去取总预测误差协方差矩阵中属于某一部分的分量。
“整体”：要先计算表示“VAR模型总的H步预测误差方差”的协方差矩阵，可以用前面提到VAR模型的VMA形式表示出来，大概长这样子：Σ(BΣuB)，Σu是原来的扰动项序列的协方差矩阵（[3]的“4.2 Mean Squared Errors”部分有涉及）。然后，再用选择向量提出属于变量i的部分，就可以得到DY2012公式(1)的分母部分。
“部分”：要用到GIRF函数（原文大致描述为“GFEVD与Cholesky方差分解最大的区别在于脉冲响应函数的使用，GFEVD一次只对系统中的某一变量产生冲击，而并非同时冲击所有变量，这也就让其对变量顺序不敏感”）计算冲击变量j所产生的脉冲响应值，对变量j的冲击（通常）取的是一倍标准差，可以计算得到文章[1]的公式(10)，然后用选择向量提出属于变量i的部分（也就是i←j）。这时会发现结果和DY2012公式(1)的分子很接近了，只需要再对求和公式的每个部分加个平方即可（可以看看文章[4]的公式(4)）。
经过上述两个步骤，就可以得到DY2012的公式(1)啦。这个公式是PesaranShin-GFEVD的成果，DY的贡献在于对这个方差分解结果的进一步包装，包括让其更像“比例”标准化过程（归一化）、总溢出指数和三种方向性溢出指数的定义等。
顺带一提，基于频域分解技术的BK溢出指数也是一个道理，其本质是DY溢出指数在不同频段ω上的分解（频段ω上的方差分解值 = 频段ω上的权重函数 × 很像DY2012公式(1)的广义因果谱函数），不过另外用到了离散傅里叶变换（DFT，实现了时域信号向频域信号的转换）等技术，没有工科背景真的看不懂（昏睡）。
就讲这么多吧，欢迎大佬指正。
参考资料：
[1] PESARAN H H, SHIN Y. Generalized impulse response analysis in linear multivariate models[J]. Economics letters, 1998, 58(1): 1729.
[2] KOOP G, PESARAN M H, POTTER S M. Impulse response analysis in nonlinear multivariate models[J]. Journal of econometrics, 1996, 74(1): 119147.
[3] https://kevinkotze.github.io/ts-7-var/#ref-Engle:1987
[4] Lanne M, Nyberg H. Generalized forecast error variance decomposition for linear and nonlinear multivariate models[J]. Oxford Bulletin of Economics and Statistics, 2016, 78(4): 595-603.
