线性代数动画课程【合集】超形象动画课程【小元老师，心一学长】考研数学，大学数学，

二阶行列式：平行四边形的有向面积

证明方法：1、割补法 2、平移法 3、代数法

三阶行列式：平行六面体的有向体积

由于方向指向更高的维度，人类无法理解，但是可以通过±来感知。与坐标轴方向一致为正

补充知识：三位向量的叉乘

头脑小风暴：每一次叉乘得到的向量都是指向了大于当前空间维度一维的空间

行列式都是正方形，二阶行列式是两行两列三级行业是是三行三列。

若a、b都是二维向量，a×b的大小=a、b所构成的二阶行列式大小=a、b所构成的平行四边形的面积

若a、b、c都是三维向量，a×b·c的大小=a、b、c所构成的三阶行列式大小=a、b、c所构成的平行六面体的体积（证明：分别计算行列式和向量运算的结果，发现结果一致）

若a、b都是三维向量，a×b的大小=a、b、i所构成的三阶行列式大小=a、b所构成的平行四边形

奇数个得到的是矢量，偶数个差乘得到的是标量

行列式的性质

性质一：行列互换值不变

性质二：某行（某列）倍乘，行列式的值也倍乘 行列式的行和列是等效的

性质三：反对称性质（两行（列）对换，行列式的值反号）

理解：二阶行列式→叉乘

三阶行列式→叉乘之后点乘

推论：1、如果行列式两行（列）完全相 同， 则此行列式等于0

理解：性质三或者几何意义

2、行列式中有两行（列）元素成比例，则此行列式等于0

理解：性质二；或者几何意义

{思维方式的积累：1、复杂的概念理解之后起一个精简的名字，方便搭建只是体系

2、复杂的问题由繁入简，可以先从二阶行列式看起。}

性质四：三角形法则的基础

理解：

二阶几何意义：平行四边形的平移

三阶几何意义：平行六面体的平移

意义：倍加的意义是消元

倍乘消元得到更多的0的三角行列式意义是使向量构成的几何体变得更加的规则

再次消元得到对角行列式，得到一个长方形

对角行列式的转换

其实，-1的指数永远是奇数，正负对角线行列式一直互为相反数

方法：基于冒泡排序法的思想

行列式的展开

余子式：去掉某一个元素所在行和列后重新组成的行列式（称作：某元素的余子式；含义其余的元素构成的子行列式）

相邻两个元素对应的代数鱼子数的符号想相反

行列式展开定理

行列式的展开就是某一行（列）元素乘以它的代数余子式，然后在相加之后得到的行列式

理解：

（通过坐标来证明0）

几何意义：把一个大的几何体通过投影拆成几个小的几何体（拓展：拉布拉多展开式类似）

矩阵

线性变换

如果整个空间的所有二维向量都进行了相同的线性变化，而这个线性变换就是施加于整个空间的，对整个空间进行了线性变换

由于整个空间所有项链的起点都是在坐标原点，终点都是在平面任意位置，那我们空间的变换就可以用网格线来表示，可以不用画出所有向量

线性条件：满足：

①向量加法运算

②标量乘法运算

T(0)=0表示线性变换之后原点位置不变

第二个是汇总结果

几何解释

①直线变换之后仍然是直线，网格线平行且等距分布

②原点固定

矩阵

矩阵的运算

加法运算

矩阵表示一个线性变换，这个线性变换是用变换后的基向量来表示的

音乐表示变换后的i，第2列表示变化后的j，第3列表示变换后的k

矩阵竖着看就是每一个方向的基向量，所有方向的积向量共同描绘一种新的空间状态

对比行列式的加法运算法则：

数乘运算

矩阵的乘法

线性变换·输入向量=输出向量

快速运算：

A m×n B n×s 这两个矩阵的n脚标必须要相等才行，不相等没法相乘。

矩阵A的n列都是变化后的基向量