折纸与错位相减（2021新高考Ⅰ，16）

2023-04-18 13:07 作者:数学老顽童 0人读过 | 我要投稿

（2021新高考Ⅰ，16）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为 $20%20%5Cmathrm%7Bdm%7D%5Ctimes%2012%20%5Cmathrm%7Bdm%7D$ 的长方形纸，对折 $1$ 次共可以得到 $10%20%5Cmathrm%7Bdm%7D%5Ctimes%2012%20%5Cmathrm%7Bdm%7D$ 、 $20%20%5Cmathrm%7Bdm%7D%5Ctimes%206%20%5Cmathrm%7Bdm%7D$ 两种规格的图形，它们的面积之和 $S_1%3D240%20%5Cmathrm%7Bdm%7D%5E2$ ，对折 $2$ 此共可以得到 $5%20%5Cmathrm%7Bdm%7D%5Ctimes%2012%20%5Cmathrm%7Bdm%7D$ 、 $10%20%5Cmathrm%7Bdm%7D%5Ctimes%206%20%5Cmathrm%7Bdm%7D$ 、 $20%20%5Cmathrm%7Bdm%7D%5Ctimes%203%20%5Cmathrm%7Bdm%7D$ 三种规格的图形，它们的面积之和 $S_2%3D180%20%5Cmathrm%7Bdm%7D%5E2$ ，以此类推.则对折 $4$ 次共可以得到不同规格图形的种数为________；如果对折 $n$ 次，那么 $%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5En%7BS_k%7D%3D$ ________ $%5Cmathrm%7Bdm%7D%5E2$ .

解：对折 $4$ 次，共有

横 $0$ 纵 $4$ ，横 $1$ 纵 $3$ ，横 $2$ 纵 $2$ ，横 $3$ 纵 $1$ ，横 $4$ 纵 $0$ ，

$5$ 种不同的折法，可以得到 $5$ 种不同规格的图形

易知 $S_k%3D240%5Ccdot%5Cleft(%20k%2B1%20%5Cright)%20%5Ccdot%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Ek%7D$ ，所以

$%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%09%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5En%7BS_k%7D%26%3D%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5En%7B%5Cleft%5B%20240%5Cleft(%20k%2B1%20%5Cright)%20%5Ccdot%20%5Cleft(%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Cright)%20%5Ek%20%5Cright%5D%7D%5C%5C%0A%09%26%3D240%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5En%7B%5Cleft%5B%20%5Cleft(%20k%2B1%20%5Cright)%20%5Ccdot%20%5Cleft(%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Cright)%20%5Ek%20%5Cright%5D%7D%5C%5C%0A%09%26%3D240%5Cleft%5B%202%5Ctimes%20%5Cleft(%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Cright)%20%5E1%2B3%5Ctimes%20%5Cleft(%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Cright)%20%5E2%2B%5Ccdots%20%2B%5Cleft(%20n%2B1%20%5Cright)%20%5Ccdot%20%5Cleft(%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Cright)%20%5En%20%5Cright%5D%5C%5C%0A%5Cend%7Baligned%7D$

所以

$%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5En%7BS_k%7D%3D240%5Cleft%5B%202%5Ctimes%20%5Cleft(%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Cright)%20%5E2%2B3%5Ctimes%20%5Cleft(%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Cright)%20%5E3%2B%5Ccdots%20%2B%5Cleft(%20n%2B1%20%5Cright)%20%5Ccdot%20%5Cleft(%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Cright)%20%5E%7Bn%2B1%7D%20%5Cright%5D%20$

两式相减，可得

$%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%09%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5En%7BS_k%7D%26%3D240%5Cleft%5B%201-%5Cleft(%20n%2B1%20%5Cright)%20%5Cleft(%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Cright)%20%5E%7Bn%2B1%7D%2B%5Cleft(%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Cright)%20%5E2%2B%5Cleft(%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Cright)%20%5E2%2B%5Ccdots%20%2B%5Cleft(%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Cright)%20%5En%20%5Cright%5D%5C%5C%0A%09%26%3D240%5Cleft%5B%201-%5Cleft(%20n%2B1%20%5Cright)%20%5Cleft(%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Cright)%20%5E%7Bn%2B1%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D-%5Cleft(%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Cright)%20%5E%7Bn%2B1%7D%7D%7B1-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D%20%5Cright%5D%5C%5C%0A%09%26%3D240%5Cleft%5B%201-%5Cleft(%20n%2B1%20%5Cright)%20%5Cleft(%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Cright)%20%5E%7Bn%2B1%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D-2%5Ccdot%20%5Cleft(%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Cright)%20%5E%7Bn%2B1%7D%20%5Cright%5D%5C%5C%0A%09%26%3D240%5Cleft(%20%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D-%5Cfrac%7Bn%2B3%7D%7B2%5E%7Bn%2B1%7D%7D%20%5Cright)%5C%5C%0A%5Cend%7Baligned%7D$