游戏王Master Duel镜碎概率学【第一版】
大家好，我是Allan（阿兰）。今天我想用这篇文章简要地谈一谈我对游戏王Master Duel中镜碎卡的研究。
什么是镜碎？
如果你玩过任何集换式卡牌游戏，你肯定对镜碎这个概念不陌生（譬如，炉石传说中的“金橙”）。每当我们开卡包时，都有一定概率开到一些稀有卡。通过获得这些卡的难易度，我们将它们分成了各种罕贵。而镜碎是游戏王Master Duel中的最高罕贵，即最难获得的卡片。那么镜碎究竟有多难获得呢？根据官方给出的数据，每次获得的UR和SR卡有1%的概率变成镜碎，而获得UR卡的概率只有2.5%。这也意味着你获得某张镜碎UR卡的概率只有0.025%！如果官方给出的概率是真实的，那你必须购买4000张卡才能保证获得一张镜碎UR卡（这种行为我们称为“冲镜碎”）。游戏王Master Duel里每包有8张卡，购买500包大约需要800美元。用800美元去换取一个电子游戏里的虚拟卡片，你可能会怀疑我的思想是不是出了问题（笑）。诚然，冲镜碎是一个纯粹的赌博行为，就像坐着豪华邮轮把钱倒进大海里。但如果我告诉你，只要合理地运用数学，我可以突破这个极小概率，你是否有兴趣读下去？
动机
万物皆有其理，由人类程序员编写的电子游戏也不例外。只要摸清了抽卡的机制，我就能最大程度地规避损失。首先，我不相信常年摆烂的Konami程序员会设计多么复杂的抽卡算法，我认为他们使用的一定是业界最普遍的模式。这里就不得不提到Pseudo random distribution（PRD，伪随机分布）了。简而言之，伪随机就是看上去随机，实际上一切都是确定事件。为什么游戏中会广泛使用伪随机？为了平衡玩家的游戏体验，也就是所谓的“运气守恒”。如果使用真随机，那某些倒霉的玩家可能一辈子都无法获得他想要的卡。在此假设下，我会用这篇文章剩余的篇幅来大胆地提出自己的理论，并用一些实战数据来支撑。以下均为个人猜测，请勿过于较真。
理论
每次获得UR/SR卡（开包或合成），系统都会计一个总数，称为N（这个总数即使下线也不会清零）。每张卡为镜碎的概率并不是一个固定的值，而是等于p*N，p为一个大于零的常数，称为基础概率。当我们获得镜碎卡时，这个N会清零，重新计数。也就是说，如果我们一直不出镜碎，出镜碎的概率就会越来越高。我们的目标就是算出p。只要掌握了p，我们就可以在合适的时机从开包转向合成，向着目标镜碎卡全力冲刺。接下来，我会从数学的角度去解释怎么计算p（需要一定概率论基础，不感兴趣的可以跳到代码部分）。
将抽卡的过程考虑成一个马尔可夫链，它有两种可能的转移。
从n层基础概率到1层基础概率（出镜碎）。
从n层基础概率到n+1层基础概率（不出镜碎）。
假设我们已经知道p，我们可以写出这个马尔可夫链的转移矩阵。其(n,k)-entry对应从n层到k层的概率。满足某些条件的马尔可夫链会收敛到唯一的稳定分布。假设它满足这些条件，我们可以通过解特征向量方程来算出这个稳定分布。特征向量代表的是这个马尔可夫链处于某一层的时间比例。通过归一化我们可以算出处于某一层的概率。然后我们可以把每一层的概率乘以其对应的出镜碎概率，再平均，就能得到这个p对应的平均镜碎概率（也就是官方给出的1%）。读到这里你也许明白了，我们并不是直接去算p，而是通过试验不同的p，直到我们获得官方概率。
代码
这是我用MATLAB写的代码。
p = 0.000155;
n = round(1/p);
r = 0;
c = 1;
for i=1:n-1
c = c*(1-(i-1)*p);
r = r+c*i^2*p;
end
p0 = 1/(r+n*c*(1-(n-1)*p));根据我的实验，p=0.000155的时候平均镜碎概率（p0）正好等于0.01。换句话说，第一次抽卡为镜碎的概率仅为0.0155%，远远小于1%！
策略
如果你读到这里还有兴趣，那不妨让我为你推荐我的冲镜碎策略。
首先，我们要确定目标，一般是一个UR加两到三个SR。因为UR比SR更难出，是破釜沉舟冲刺UR还是在合适的时机悬崖勒马转向SR，全凭个人决策。
根据前文，镜碎的基础概率是0.0155%，我们在N=65的时候才会达到官方给出的1%镜碎概率，在N=130的时候会达到2%，以此类推。换句话说，只有在获得第65张UR/SR之后我们才能进入“公平赌局”。为了最小化风险，这里要提到一个概念：垫刀。垫刀顾名思义就是通过获得非目标UR/SR卡来叠加镜碎概率，类似于叠Buff。根据我和@飽食騎士小米粥（始作俑者）的观察，游戏中的经典包也能用于垫刀，而经典包可以通过对战免费获得。那么，我们的冲碎策略就很清楚了：
开经典包，记录获得UR/SR的总数，如果有镜碎就清零。
当总数达到65（对应镜碎概率1%）时，转为开目标卡包或者合成。当然，你也可以直接用目标卡包来垫。
获得镜碎后，回到1。
数据
Talk is cheap, show me the data.
在展示数据之前，我想简要地介绍一下数据的来源。我是在看了小米粥的视频之后对镜碎产生了兴趣。之后，我和他分别展开了数次冲镜碎的尝试。然而我们得到了大相径庭的结论：他认为镜碎概率正好是1%，而我认为它远远小于1%。诚然，可能我只是个maybe。但是请你看看他的数据。
93, 16,107, 46, 78, 49, 48, 25, 121
这是他最近9次出镜碎的N值。如果我们求平均，得到64.7778。
桥豆麻袋。
这是巧合吗？
这不是跟我刚刚提到的65不谋而合？
换句话说，如果某人没有读过这篇文章，同时拥有小米粥的运气，那么他会在65左右出镜碎，而概率正好位于1%！
然后是我的数据。
203, 140, 90, 15, 116, 36, 145
平均值106.4286，这才是正常人的运气（生气）！
结语
以上，就是我目前对于冲镜碎的全部理解。我希望通过这篇文章引起同样在冲镜碎的各位的注意。我需要大量的数据，越多越好。如果你对镜碎感兴趣，欢迎加入Allan游戏王交流群：684104375。传说，那里居住着一位镜碎天帝……
最后的最后，请不要冲镜碎。
