用三次曲线上的加法群解答禁书10

今天在翻禁书时，看到第10题，就觉得此题中的点应该都在Neuberg曲线上。再拿出几何画板画一下图，发现三条直线所共的点恰为帕里反射点，故而运用Neuberg曲线的知识，我立刻解决了此题。

先看题：

在给出证明前，我将先科普一点关于Neuberg曲线以及三次曲线加法群的知识：

在这里，我主要解释一下其作为主等角三次曲线的性质，即对于Neuberg上任意一点P，其等角共轭点P'也在Neuberg上，且PP'恒经过枢点X_30，换句话说就是PP'恒平行于欧拉线。

Neuberg曲线拥有唯一渐近线X_74X_30，其平行于欧拉线且与Neuberg曲线有唯一实交点X_74

加法群刻画了三次曲线上的点的关系，但其为何是一个“群”还需要运用Caylay-Bacharach定理来证明。我在这里仅仅是科普一下，便不做过多的解释了。

先给出我的思考过程：其实只需证三条直线都经过帕里反射点。显然l_a与Neuberg有三个交点，那么，就需要用另外两个交点刻画它。显然其中一个交点为A关于BC的对称点，而刻画第二个交点就需要一个小引理。

此时两个点都可以表示出来了，但化简的过程中还会出现一个奇妙的数：2A，它实际上与Neuberg曲线在A处的切线有关，这里也需要一个引理来刻画它。但在此引理证明之前，我们需要一个重要的结论（感谢豪神）

现在就可以刻画这条切线了

到此，本题思路就结束了，下面是证明过程：

至此，禁书10解答完毕了，我能解答出此题还是很侥幸的，因为这道题实际上仅仅用了点加法群的皮毛。而加法群的作用远远不止这些，可惜我的水平已经限制了我。但我相信，我必将超越现在的我，这篇文章只是道路的起点罢了。