學用數學將推出新一系列 GS 課程  ：用 Geogebra 來分析解題思路。

很多數學幾何題，要理解解析不難，困難的是該如何想到解題方法？ 因數學解析都是依照邏輯推理步驟書寫，每一步有理有據，雖然嚴謹，但不容易看出其思考脈絡。

這次呈現的 GS 課程，就是希望通過以 Geogebra 進行探究的方式，來重建解題思路。

有人說考試不能用 Geogebra 那為何還要學這個呢？其實我一直聲明要學的不是 Geogebra 這類工具軟體，工具軟體 10 年後都會改變，要學的不是操作。而是通過這工具來鍛鍊大腦。Geogebra 就只是一個構建思維的腳手架（鷹架），這就像葉問練永春的木人樁，他只是 練習問題拆解的輔助工具。

當平時多經歷幾次這些操作後，在之後沒有電腦，也可在大腦想像運作這些操作。就像后翼棄兵中的女主，經過多次下棋後，就可以在大腦下盲棋。看著天花板就可以想像棋局的變化。

接下來，就用南一中科學班 101 填充 4 這道四邊形的一對角線分出兩組互餘、互補腳的問題來討論。

思路一：分析問題

這道題給了兩組補角、餘角還有等邊的條件，看似無法確定圖形，但卻要求角B的大小。若角 B 是個定角，那就可能位在一個以 AC 為一弦的圓上，那究竟是哪個圓呢？

思路二：利用同餘的條件來製作等腰直角三角形

要利用同餘的條件，可將 A 繞 C 轉個 90度，將餘角的關係就轉換為直角。

思路三：利用全等三角形來搬移角度

再利用 AB=CD 的等邊條件，就可得到 △ABC≌△CDE。於是將 ∠B 搬到 ∠CDE 、∠ACB 搬到 ∠BED 。

  思路四：利用對角互補確定四點共圓

將 ∠ACB 搬到 ∠BED 後，原本 ∠ACB 與 ∠BCA 互補的關係，就轉為四邊形 ACED 內對角互補，於是可得 ACED 四點共圓。

思路五：利用對角互補確定四點共圓

利用同弧所對的角相等來轉換角度，可得 ∠B= ∠CDE=∠EAC。而  △EAC為一個等腰直角三角形，所以 ∠EAC為 45度。因此  ∠B =  45度。

製作步驟一 製作互餘的內錯角 

先建立三角形 ADC ，接著將 A 繞 C 轉 90 到 E，取得 ∠ECD 為 ∠ACD 的餘角，接著再將C 繞 A 轉動 ∠ECD 。

製作步驟二 AB=CD

以 A 為圓心 CD 長為半徑畫圓交 AC' 於一點，將此點重新命名為 B 。

製作步驟三 構造全等三角形

作△ABC≌△CDE  並將對應的角標上相同顏色。

製作步驟四 對角互補，確定四點共圓

利用四邊形 ACDE 中 ，∠E 與 ∠A 對角互補，確定四點共圓。因此，先建一個過 A,C, E 三點的圓，接著讓 D 點位在圓上，就可得到所求的四邊形，此時也可得到 ∠B 是 45 度。

製作步驟五 用顯示條件讓物件漸次出現

建一個數值滑桿 hn 範圍從 0 到 7 用於切換不同物件的出現順序。在每個物件的 [設置] [進階] 選單中，可設置出現的條件，例如，ACED 的外接圓，在步驟 5 才出現。這時在其 [顯示物件的條件] 就設為 hn >= 5  。

製作步驟六 複合的顯示條件

若有些圖形，其出現的條件不是單一式子，就可搭配 && (且) 與 || (或) 來串聯多個關係。例如，三角形 ACB 只希望在 hn=3,4,5 才出現，其  [顯示物件的條件] 就可設為 hn >= 3  && hn <= 5 ，或者用 hn ==3 || hn==4 || hn==5 ，都可達到這個效果。

小結

這次最想要分享的就是通過 Geogebra 來探究分析一個幾何題的過程。在這問題探究時，採取先放寬部份條件（此例中的補角關係），接著再通過製作全等與點的移動進而得出四點共圓。

此節同時也演示了製作逐步演示過程的方法，通過 Geogebra 的滑動條，與條件顯示的邏輯判斷，就可做出一步步出現的效果。

最後還是鼓勵大家，可挑些考題來用 Geogebra 做些探究分析。在實際拆解問題的過程會遇到很多新問題，遇到問題需要思考時，才會獲得更多的啟發。

相關連結

【GGB】https://www.geogebra.org/classic/tjexzzc2
【Bili】https://www.bilibili.com/video/bv1Uo4y127A3
【youtube】https://www.youtube.com/playlist?list=PLXH05kw-i_5ImlLdioUO2w_z2Kcuprf2k