无线信道的数学表示--多径信道传递函数的频域分析

多径信道模型：引入随机变量

可以比较合理的假定 散射体造成的相位差  和 传输距离造成的相位差 是相互独立的，且在之间均匀分布，由于复指数是周期函数，所以，可以认为 在 之间均匀分布的，虽然是在 之间的受限三角形，若考虑 是均匀分布在  之间的，则可以把  认为在之间均匀分布。

则公式 (5) 可以简化为

即：

多径信道传递函数的频域分析

对公式 (6) 中，把 t 看成固定参数， 对 进行傅里叶变换：

上式中 f'  是频率变量，即频谱中的变量。 和 都是参数。

可以看到， 这一项在求和公式里面，所以，的值就与 f' 有关，因此，不同的频率，其衰减系数也不一样，这是频率选择性信道。

如果要想是频率非选择性信道或者叫平坦衰落信道，则需要   这个与求和公式无关，即与 n无关。若符号长度  远大于 最大时延，即 ，则不同的路径 n， 都取相同的值，令  ，那么公式 (7) 就可以写成：

从公式 (8) 可以看出，对不同的频率 f', 其衰减系数   都是一样的（因为模等一. 因此，这种信道就称之为频率非选择性信道或者叫平坦衰落信道.

那么这种平坦衰落信道，在时域上的表达式，同样令 , 从公式 (6) 可以推导出：

上面这个表达式，可以理解为，在某个 t 时刻上，所有的多个路径中，延时为 的才有值，其它的都为 0. 所以，公式(9)的这个冲击响应，其实只是一个单值的。

 

我们对这个单值的情况进行分析，实际上也就是对下图中某个颜色标注的路径进行分析：

例如对 进行分析，则公式(9)就变成：


假设发射的信号是 x(t) ，则与公式9.1卷积后得到接收的信号 ( 注意，公式9.1中的变量是)：

上式最后一行，实际上是对原始信号 x(t) 分别乘以一个复数衰减 ，然后再乘以一个频率偏移项 然后累加。

在频域上的表现，就是原始信号x(t) 的频谱，被多个频率偏移项  频移了频率，当然偏移后也要乘以一个复数衰减 .

 

频域上看，就是频率被延展了，例如 x(t) 是一个单频的 sine wave, 则这个单频的 sine wave 被延展出来多个频率出来，频率点分别是原来的频率被平移了  的频率点。这个可以理解为在频域是一个频域的冲击响应，在频域做卷积，对应于在时域就是直接相乘了。