注水定理的证明

作者：phy东西

审核：水缸

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本文适合具有一定基础的读者阅读

1、   问题描述

“注水定理” 解决的是信息论中的一个基本问题：以总容量最大化为目标的AWGN信道功率分配方案优化。该问题描述如下：

“有K个并联AWGN信道且且噪相互声独立，噪声功率依次为

总功率受限于P ，求出使K个并联信道功率最大化的功率分配方案。”

写作优化问题格式为：

2、一个简单的证明

在这一节中我们给出一个比较便于理解的推导。 

有的人可能觉得直接将所有功率分配到最好的（噪声功率最小的）信道里就可以，但信道容量的表达式是  

，随功率增加，增长的幅度越来越小，这种想法启发我们每次将功率分配到容量增长幅度最大的信道中。 

假设我们已有一个初始功率分配方案  

，满足：

 显然

也是一个合理的初始化方案。假设一正数

，代表接下来要分配的功率。把δ功率分配到第κ个信道中，则信道容量增加：

不难发现应该将功率分配到

最小的信道中。如果每次选取的δ尽可能小，则将功率完全分配后，一部分信道的功率分配满足

为定值，对于另一部分较差的（噪声功率较大的）信道

大于该定值，则不分配功率，即： 

3、 一个严谨的证明 

我们重写 (1.1) 为

4、 连续并联信道的注水定理

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