QFT#1

第二周的课。依旧是上课时间的顺手记录。

# 笔记全部采用自然单位制和爱因斯坦求和约定。

经典场论

* 在量子场论中，拉氏量比哈密顿量具有更重要的地位，场论中要求它是Lorentz不变的。作用量：

那个长得比较花的 L 是拉氏量密度。

所谓场论，回忆一下上回笔记提到的一维弦，由于他有无穷多自由度（每个点都能动），就需要利用“场” Φ(x) 来描述。在经典一维弦中，Φ是x位置的位移。QFT中这个场当然代表了更多含义。

回顾一下洛伦兹变换

洛伦兹变换：

那个大Lambda是洛伦兹矩阵，由3个转动参数 θx,θy,θz 和 快度参数 βx，βy，βz 决定。

另外这里的β和普物里面常用的β=v/c不太一样，其定义是

所有的洛伦兹矩阵构成洛伦兹群，这个群是保4维(+,-,-,-)内积的群

洛伦兹变换有性质：

场被按照洛伦兹变换的行为可以分类：

标量场、矢量场、张量场、旋量场 (Dirac场) 

标量场的行为类似洛伦兹标量：

矢量场：

张量场：

这里主要讨论的是定域场论，非定域的很难保证洛伦兹不变。拉格朗日量是拉氏量密度在时间、空角的积分。

类似经典力学中拉氏量只是广义坐标、广义速度的函数，场论中拉氏量应当是场及场的微分的函数：

推一下场论的欧拉-拉格朗日方程，类似理论力学里面对作用量S变分的操作，

经过一系列很神奇的操作，可以得到场论里的Euler-Lagrange方程：

另外，场的正则动量密度：

场的哈密顿量：

最简单的 Klein-Gordon 拉氏量：

两项分别是动能项和场的质量项，暂时没有加入相互作用。

这是自由场论，量子化后会变成无穷个互不相干的谐振子，没有动力学、没有相互作用。

向欧拉-拉格朗日方程中代入前面的K-G拉氏量，不难推导

这正是 Klein-Gordon 方程。

（不过这和上一次笔记提到的KG方程仅是形式一样，而物理含义有所不同，本篇笔记中我们到目前为止还未引入量子化。）

对称性和守恒律

*前面提到洛伦兹变换，有6个自由度。可以再加一个时空的平移，共10个参数，构成庞加莱变换：

所谓对称变换，是说变换前后有些东西不变。对称变换可以分类为时空对称性和内禀对称性。

时空对称性是有些东西在洛伦兹变换/时空平移/时空伸缩下不变；内禀对称性则例如对场做一些变换而拉格朗日量不变，比如说φ换成-φ，前面的K-G拉格朗日量不变。

对称变换也可以按连续型和分立型的变换分类。像洛伦兹变换就可以由一系列无穷小变换组成，是连续的。（这似乎让人联想到李群）

可以验证，K-G拉格朗日量是洛伦兹标量，即具有洛伦兹不变性。

Noether定理

Noether定理：如果系统具有某种连续对称性，并且当运动方程满足时，系统存在一个相应的守恒流。

* 不适用于分立对称性。

* 守恒流，是指存在某种流满足 .

话说要有某种对称性，也就是要求作用量在某种变换下不变：

这里有个小操作，，然后那个雅可比行列式要展开到一阶小量。一定程度的化简。

后面计算很复杂，一系列操作后，算出守恒流：

也能够定义守恒荷：

上式即“密度”对全空间的积分。从而守恒定律可以表示为dQ/dt=0.

应用举例：

时空平移变换：

经计算得到相应的守恒流是能动量张量：

于是每个都是守恒流，时间对应能量，空间对应动量。时空平移对应能量、动量守恒。

额 记到这电脑没电了，剩下只能回去整理了

好在也到最后一节课了

再举一例，复数形式的Klein-Gordon拉氏量为

该拉氏量具有内禀的 U(1) 对称性： 变换下保持不变。

于是根据Noether定理也可以计算这个内禀对称性对应的守恒流与守恒荷。

听说这个守恒荷就是电荷：