单调有界原则只适用于严格单调吗

2023-06-04 22:05 作者:~Sakuno酱 0人读过 | 我要投稿

当然不是的

因为证明过程不需要严格单调

假设数列满足 $a_n%20%5Cle%20a_%7Bn%2B1%7D%20$ 而且 $%5Cforall%20n%20%5Cin%20%5Cmathrm%7BN%7D%5E%2B%20%2C%20a_n%20%5Cle%20M$

我们现在定义一个有数列元素构成的集合 $A_n%20%3D%20%5C%7B%20a_i%20%5Cmid%20i%20%5Cge%20n%5C%7D$

$A_1%20%3D%20%5C%7B%20%20a_1%2C%20a_2%2C%20a_3%2C%20...%20%5C%7D$

$A_2%20%3D%20%5C%7B%20a_2%2C%20a_3%2C%20a_4%2C%20...%20%5C%7D$

不难发现 $%20A_3%20%5Csubseteq%20A_2%20%5Csubseteq%20A_1$ ，即这个集合序列是单调减的

$A_1$ 是有上界的那么必然就有有上确界，我们记这个上确界为 $c$ ，接下来试图证明 $%5Clim_%7Bn%20%5Cto%20%5Cinfty%7Da_n%20%3D%20c$

首先我们要把 $%5Cepsilon$ $%5Cdelta$ 语言转换成反命题

我们把数列极限定义看成 $%5Cforall%20%5Cepsilon%20%3E0%2C%20%5Cexists%20N%2C%20%20n%20%3E%20N%20%20$ 则有 $%7Ca_n%20-%20c%7C%20%3C%20%5Cepsilon$

命题是 $%5Cforall%20%5Cepsilon%20%3E0%2C%20%5Cexists%20N%20%2C%20$ 条件 $P(n%2CA%2CN%2C%20%5Cepsilon)$ 成立

反命题就是 $%5Cexists%20%5Cepsilon%20%3E0%2C%20%5Cforall%20N%2C$ 条件 $P(n%2CA%2C%20N%2C%5Cepsilon)$ 不成立

在考虑条件 $P$ 不成立的含义:

$n%3EN$ 不能确定 $%7Ca_n%20-c%7C%20%3C%20%5Cepsilon$ ，那么就是有一个 $n%3EN$ 满足 $%7Ca_n%20-c%7C%20%5Cge%20%5Cepsilon$

我们用反证法证明

如果 $c$ 不是 $a_n$ 的极限，那么必然有一个 $%5Cepsilon%20%3E%200$ ，使得 $a_n$ 有无穷多个元素满足 $%7Ca_n%20-c%20%7C%20%3D%20c%20-a_n%20%5Cge%20%5Cepsilon$ ，用形式化的语言描述就是 $%5Cforall%20n%20%5Cin%20%5Cmathrm%7BN%7D%5E%2B%20%2C%20%5Cexists%20a_j%20%5Cin%20A_n%2C%20a_j%20%5Cle%20c%20-%20%5Cepsilon$

这个结论其实很病态，因为我们可以从这个结论得出 $a_n%20%5Cle%20c-%20%5Cepsilon$

假设 $a_i$ 是数列的某一项，那么自然就有 $A_i$ 的存在，从上面的结论得出有 $a_j%20%5Cin%20A_i$ $a_j%20%5Cle%20c-%5Cepsilon$ 同时 $a_i$ 又是 $A_i$ 的下界，所以 $a_i%20%5Cle%20a_j%20%5Cle%20c%20-%5Cepsilon$