《虚数不虚》第一节：楔子

2022-09-21 16:02 作者:qazopq 0人读过 | 我要投稿

视频链接请点此观看

让我们研究这个多项式函数:

$f(x)%3Dx%5E2%20%2B1$

如果我们把它绘制出来，会得到一条抛物线（图1）。

现在我们想知道这个函数在哪处为零（我们称方程 $x%5E2%2B1%3D0$ 的根），在图像上，这应该是抛物线与x轴的相交处。

正如你所见，这条抛物线实际上并未与x轴相交，所以我们根据图像判断，该方程无解。

事情没有那么简单。大约两百多年前，有一位聪明数学家——高斯，他证明了任意一个一元n次多项式方程总是有n个根。我们的多项式方程的最高次幂为2，所以它应该有两个根。高斯发现的这个定理可不是瞎猜的，如今这条广为人知的定理叫作代数基本定理(Fundamental Theorem of Algebra)。

所以，我们的图像违反了“代数基本定理”，这可糟了！高斯认为，我们总能找到两个数（不妨称之为 $x_1$ 、 $x_2$ ）,把它们代入函数F(x)，便得到F(x) = 0。那么，这两个缺失的x在哪呢？

通俗地讲，问题的根结在于我们的数字不够用了。我们通常认为所有的数字都排列在一条数轴上，一切整数、负数、零、分数、以及无理数都包含其中。

但这是不完整的。我们要找的数字不在数轴之上，而在数轴之外的另一个维度。从后来的数学发展看，这个新的维度与一个困扰了数学界两千多年之久的问题密切相关——求－1的平方根。

当我们把这个丢失的维度考虑进来，我们的函数变成了图2所示的有趣形状。

我们能看到，函数的自变量已经拓展到一张二维平面，我们以前所看到的只是他的“冰山一角”。进一步的观察可以发现，它确实与x轴相交了（注1）！

原来是我们观察的角度错了。

那么，为什么这个额外的维度长久不被人所知呢？一部分原因在于它被贴上了一个非常、非常糟糕的标签。一个表达了这个维度“不真实”的名字！

事实上，高斯本人对这个命名也很反感。他曾经这样说：

虚数之所以迄今令人望而生畏，主要归因于它糟糕的命名。如果让我命名“+1”，“-1”和“-1的平方根”，我更愿意叫“右向”、“左向”和“纵向”单位，而非现有的“正数”，“负数”和“虚数”（甚至叫“不可能的”）单位，那么这种迷雾就不会出现。

很遗憾，这个丢失的维度就这样荒唐地被人们称作“虚数”延续至今。高斯建议应该改叫“纵数”。为了更好的理解虚数（纵数）是什么，让我们花一点时间思考数字本身。

早期人类只用到了自然数（0、1、2、3......），这是合理的，因为自然数就是用来计数的。所以对早期人类来说，数轴就是一连串的点。随着文明进步，人们需要处理更复杂的数学问题，像何时播种，如何分地，如何记账......自然数渐渐不够用了，于是古埃及人发明了一种新的数字：分数。分数填补了当时数轴的缺口，基本上可看作当时的黑科技。

数字的下一个重大革新是“0”和负数的引进，但花了很长时间才被地球上的各大文明接受。因为这些数字没有显著的现实意义。历史上，零和负数都曾遭到了怀疑，在一段时间里备受冷落。不同文化对他们的接纳，很大程度上取决于人们如何看待数学与现实的联系。希腊文明便是一个鲜明的例子，尽管他们在几何上取得了很大成就，希腊文明并没有接纳0和负数，毕竟在他们看来，“无”怎么能表示“有“呢？

不只是古代，仅仅几个世纪前，西方的数学家更愿意把方程 $x%3D-1$ 写成 $x%2B1%3D0$ ，以避免方程中出现负数。随着负数概念逐渐深入人心，负数在表示债务、温度这样的概念上有了用武之地，数学家们最终接纳了零和负数。