描述世界的数学结构及其创造性

摘要：本文以世界演化“遵循统一的物理规律”这一假设为基础，讨论了基于“统一场论”的解构理性，揭示“统一场论”估计与描述世界的本质，通过世界“必然可以用数学结构的无限嵌套来表示”，讨论数学的创造力和给我们带来的启示，并借助数学建构新的意义与创造力。

关键词：统一场论，解构与重构，数学结构

世界是效应的综合，数学要有办法表示典型的效应，思考典型的效应，人和数学不是万能的，但是却可以凭借对效应的运用来无限地创造。 一、意识与思维的不可靠性   首先，我们从一个哲学问题开始，引出对数学的创造性的探讨。   解构世界、解构情感后，词语的几乎所有排列组合都是不可靠的，所有感觉、意识也不可靠（例如，眼前的手机、纸张、办公桌、身体感官、阅读文字时的思考……甚至在对科学的思考，很多都是基于经验和惯习。）但客观世界的演化，与人类的惯习常常并不相同，针对以上问题，我们该怎么办？如果牛顿定律以及对此几百年的实验验证来自感觉（即假说演绎的一次次契合）的不可靠，我们又该怎么办？ 对于上述问题暂时的回答，是假设宇宙有一个人类未能完全研究并且客观存在的统一的规律，与现行的基于理论与估计的科学并行地研究，最后再弥补这一假设本身的缺陷，并至少形成一个逻辑闭环。 换句话说，本文的观点是，一旦假设宇宙的一切在138亿年的演化有一个固定不变的规律（例如物理学中圈量子引力，弦论……＞，以此为基础，便可以无限的创造，将数学与物理、计算机科学等融合，拓展人的能量水平与思维本身的极限。 如果真的有这样一个人类没总结完全，但不随时间变化的“统一场论”，我们可以推出很多有意思的结论：比如，任意时刻的一切，由之前任意时刻的宇宙的一切唯一地“决定”，我们便可以推出人没有“自由意志”，仅有“自由意志感”，这样就从 对所有反思在更高的“思考深度”下进行反思，变成了对所有反思在更高的“底层原理下”进行反思。 这样一来，人们在头脑中符合“统一场论”的像电影放映一样闪过138亿年宇宙的一切，把这一切的结果看成是合效应的演化，进而我们可以思考以下的过程： （1）生命如何产生； （2）智慧如何产生； （3）智慧后的反思如何产生； （4）每一次科技革命的本质； （5）顶尖的科技产品、思维、与技巧的本质； （6）其它的人们暂时未思考过的问题； （7）…… 此外，如果动态地思考每一方面的演化，我们不难发现，以下三个看似不同的过程内在本质的相似性。 低速宏观物体在运动过程中，运动学要遵循牛顿定律。 人在思考过程中，心理学与认知神经科学正在探讨的人性的规律与规则。 自然界中，水汽化变成云，聚集一段时间后又下雨这一宏观上始终不变的规律，事实上一样自然，均可变化为对不同尺度下场在时间、空间下演化及其合效应的规律的研究。 因此，对世界的规律的研究过程，要求我们从研究理念上进行更彻底地创新。如果我们在科研的过程本身就没有自由意志，本身存在很多局限性，那么假设宇宙遵循统一的物理规律，且可以被数学表示，从而根据自此产生的本质发现很多崭新的结论，便或许是一个行之有效的假设。 以上是从“统一场论”解构后的对于认识计算描述世界观念的改变，以此为基础，我们可以实用主义地讨论数学和物理在描述、解释与利用世界的场的过程中，创造性的技巧以及从数学结构出发，给我们带来的启示。 二、数学、物理角度下的世界 接下来的讨论仍然以宇宙演化有某一客观存在，但人们暂未得到的“统一场论”这一假设为基础，实现从定量描述到定性描述的过渡。在最后的讨论中，我们也会将目前研究宇宙无限的节点法转化为对无限本身的数学表示，将遵循“统一场论”的人脑思考，及其与假说演绎法的无限次实验验证，也相应地找到有效的数学表示，并形成逻辑闭环。 数学中许多如数及函数的集合等数学物件都有着内含的结构。这些物件的结构性质被探讨于群、环、域等抽象系统中，该些物件事实上也就是这样的系统。此为代数的领域。在此有一个很重要的概念，即广义化至矢量空间的矢量，它建伸到线性代数、同调论等诸多学科。矢量的研究结合了数学的三个基本领域：数量、结构及空间。矢量分析则将其扩展至第四个基本的领域内，即变化。 创立于二十世纪三十年代的法国的布尔巴基学派认为：纯粹数学是研究抽象结构的理论。 结构，就是以初始概念和公理出发的演绎系统。 布尔巴基学派认为，有三种基本的抽象结构： ①代数结构（群，环，域…） ②序结构（偏序，全序…） ③拓扑结构（邻域，极限，连通性，维数...） 另一方面，了解及描述变化在自然科学里是一个普遍的议题，数学分析及其建伸是研究变化的有力工具。对于实数及实变函数的严格研究对应实分析，对复数的研究对应复分析；黎曼猜想作为数学最基本的未决问题之一，便是以复分析来描述的。泛函分析注重在函数（一般为无限维）的空间上，它在偏微分方程与量子场论中应用得十分广泛。许多问题很自然地可描述为一个变量及其n阶导数之间的关系，而这在微分方程中被研究。 在自然界中的许多现象可以被动力系统所描述；混沌理论则是对系统的既不可预测而又是决定的行为作明确的描述；与此同时，偏微分方程以及有关的变分法，调和分析，非线性泛函分析，算子代数等也在蓬勃发展。张量网络、范畴学在更广义的角度上概括和描述世界。 此外，贝叶斯网络与离散数学在计算机领域应用广泛。离散数学与计算机科学的结合主要包括可计算理论、计算复杂性理论及信息论。可计算理论检验电脑的不同理论模型之极限，这包含现知最有力的模型－图灵机。复杂性理论研究以计算机为媒介，处理问题的难易程度。信息论专注于可以储存在特定媒介内的数据总量，且因此有压缩和熵等概念。 有了以上的基础，我们来讨论世界如何用数学结构的无限嵌套来表示，本文提到的只是在对世界描述过程中比较关心的数学问题。 既然万物皆数，各个视角无穷多个丰富的性质都可适用于对世界的研究，借此，我们可以得到世界的无穷多个丰富的性质，将研究量子场效应中典型性质的过程转化为与之相对应的数学结构及其嵌套的研究。举例来说，比如：距离关系的随机（代数几何），发生的可能性的随机（贝叶斯网络），所有形式语言的共性（拓扑，范畴学），所有形式语言映射的随机（图论DAG），最小作用量原理，对世界无限性的数学描述（集合论、分析学、算子代数），场与能量效应的研究以及对场的合理利用（复杂性科学，应用数学，计算机科学）等。 由于我们看到的世界是量子场演化的合效应，世界是效应的综合，因而数学的其中一个目的便是寻找有效的方法描述典型的效应，从而借助计算机科学描述与计算效应链的演化。下面我们以几个典型效应为例，观察一下数学家们如何思考并创造，然后我们讨论数学与计算机科学的融合和给我们带来的启示。 1.所有的场的“决定论”的对应 首先“世界的演化始终遵循统一的物理规律”这一假设，奠定了接下来推演的基础。这相当于对任意时刻，以及往后的无穷时刻的宇宙截面，都建立了一一对应。 对世界现有的规律，有一个重要的问题是，我们无法追问它们的源头，而是从某一时刻唯一确定于此之前和之后任意时刻的演化。例如，如何解释人此刻的动作，我们可以设想与之相对应的神经科学和分子生物学的过程，可以并行的在头脑中思考并表示与之对应的量子场论的过程，但这一思考的结论必定指向一个终极问题。如果研究人脑控制人手动作的过程，此刻人的手部的动作是由-△t→0的上一时刻量子场唯一的决定。而上一时刻又以它再上一时刻的量子场唯一的确定，那么，如何解释源头的那个量子场是由什么确定，这便是开篇哲学基础的部分中提到的很重要的问题之一。抛开此问题，如果用数学表示宇宙任意截面，截面沿时间延伸下的演化，均为遵循统一物理规律的一一对应，描述宇宙的数学结构便应是无限次一一对应的算子，与此相关描述局部结构时，存在实分析、复分析，泛函分析，离散数学，微分方程等等数学手段。 描述世界需要借助严密的数学和逻辑学。然而，借助形式语言（如数学，形式逻辑学）来推理的任何方法，可靠性并不高于那些有效的借助画面的推理。在某种意义上，数学本身的自洽，对于现实世界为何始终如此演化，几乎不具有解释力，这是利用现有数学结构描述世界的另一个危机。但也正因如此，基于语言系统的推理和基于图像等等媒介的推理，一样适用于思维过程，我们可以并行思考这两个过程，并不断完善思维的非理性带来的缺失。在思考世界与数学解构的过程中，我们均可以在脑海同一时刻地闪过这个世界的任意截面，以及加上时间维度的立体。 因此以下两个过程： （1）彼此并行的宇宙截面的所有的演化。 （2）所有数学结构及其相互作用的演化。 便可以在同一时刻，同一个人的脑海中并行的思考。 接下来，我们观察一下量子场论描述世界的过程中典型的数学手段。 2.定域性的数学描述 将局域，非局域转换为数学中的是否耦合。 具体来说，存在以下两个主要的方向，一种是通过与外界隔离的办法来尽量减少噪音的扰动，即安静的计算机；另一种是构造不与外界的干扰发生耦合的计算机，即聋哑的计算机。 关于后者，《广义相对论；量子引力；弦理论和M－理论》中提到了切除法这个例子，书中的叙述如下：切除法在1990年代后期提出，是指在模拟演化过程中将奇点周围的事件视界“切除”掉。理论上，由于因果律以及视界本身的性质，这种方法不会影响到对于切除部分之外部分的演化的模拟。 在使用切除法时，人们必须审慎地选用坐标条件。尽管物理效应可能不会传播到视界外，但坐标效应可以。比如，在使用椭圆坐标条件时，黑洞内的网格变化会立即传播到视界外。这意味着，人们需要采用特征速度小于光速的双曲型坐标条件（比如谐和坐标条件）。或许以上方法是非耦合的一个数学表示。 3.无限与有限的相互转化 现实世界的演化中经常涉及无穷，例如时空的无穷，泛函分析中出现的无穷，在思维的无限嵌套中出现的无穷，以及更广泛的数学结构无限次嵌套后的无穷。无限未必不可研究，而有限也未必容易研究。研究无限与有限的相互转化也是一个十分重要的问题。 对于数学中处理物理中无穷的方法，我们可以从偏微分方程反问题数值解法与调和分析等的相关教材中得到很多启示。例如将不熟悉的算子转化为熟悉性质的算子与结构（如正则化），找到与某一结构存在相似共性的可研究的结构（叶状结构，ADS/CFT对耦……），或者在不同范数下比较近似或无限的程度，以及基于某一特定性质的巧妙处理（分形理论，重整化群），等等。 每一宏观世界的无穷，在微观上有着各种各样的场的结构，描述每一个典型的场特定性质的结构，便可以选取相应的数学手段。在对客观世界描述的过程中，为何选择相应的数学结构来研究，值得我们仔细思考，并找到相应的理由。 4.关于人的思考的局限性 任何思考，本质上仍然摆脱不了人对世界的感觉，而人对世界的感觉，在某种意义上未必可靠，因此，如何建立一种不依赖于人的感觉的数学，便是一个重要的问题。数学中有一种常见的解决方案：在同一个数学中表示出所有的可能情况的某种组合结构，或者所有可能情况的无限的结构嵌套之后的某种组合结构。如费曼的路径积分，考虑两个位置间所有可能的路径，对这些路径配备相应的概率并加和。事实上，这相当于由于宇宙客观演化的过程，是包含人对科学的思维没有自由意志这一过程的，因此，越过人在思考，直接去描述某一演化的所有可能，便是解决思考局限性的其中一个手段。 5.关于费曼的路径积分 费曼路径积分与最小作用量原理，是量子场论建立的基础，在量子场论的分支领域中应用十分广泛，对于费曼路径积分与最小作用量原理，有这样一个很有趣的阐释：人之所以看到的是现在这个世界，是因为世界的所有其它的可能在相位上干涉相消了，这一解释最初来源于对光的折射、干涉、衍射现象的解释。如何解释光在水中的折射过程中，为何走时间最短的路径，或者更广义的，为何自然界永远取相应作用量的极值；此外，在双缝干涉实验中，我们很容易想到无数种这一实验的各种改变，如果屏障中细缝的个数从2，3，4……一直变到n，或者把屏障放在不同的位置，或者发射点与屏幕中间，之前放置无数个屏障，实验的结果又会什么样？在经典解释中，我们常常只关注以发射点或细缝为发射源，但事实上，空间的任何位置又何尝不是将能量向四周发散的发射源？ 针对以上这些问题，又该如何解释？ 人之所以看到的是现在这个世界，是因为世界的所有其它的可能在相位上干涉相消。我们看到的世界只有在变分等于0，才会是“△t→0的稳态”，必定对应与此相应的物理过程，并且这一物理过程必定可以用与路径积分和最小作用量原理等价的其它的数学结构来描述；另一方面，稳态也是相对的，所谓的稳态，或许是相对于人的感觉和人创造出的仪器的观测时间意义的无限，因此，在这种情况中，在演化某种意义下的无穷里，稳态便是人、机器这种有“视觉暂留效应”的观测仪器所能看到的高阶无穷小。 6.基于世界演化本质的同阶估计 有了上一节对费曼路径积分合理性的阐述和对最小作用量原理的阐释，我们可以由此出发谈论更多的问题。例如，我们可以继续讨论在某种意义上无法观测的事物与实际的对应。 为了能够更加深入研究概括宇宙规律的“统一场论”，首先必须通过一道难关，就是广义相对论。在重整化的处理中，"无穷大"问题之所以能够推迟，是基于实验已经得出的微观量子场的结构。如我们通过实验能够得知原子核与电子的性质，从而建立量子电动力学，通过在更高尺度能量下，夸克、胶子的性质，建立了量子色动力学。但一旦粒子对撞的能量尺度大到足以形成黑洞时，便无法进行观测，从而重整化无法运用观测的结果进行近似，而这一能量尺度，就对应普朗克常数。 换句话说，普朗克常数对应，极小的空间、极大能量下的黑洞，黑洞对应的数学又阻止了场的传播，以至于任何对场的探测无法观测。但另一方面，世界的能否精准测量、表示、计算，与世界本身的演化是否遵循统一的物理规律是两个问题。只要基于“世界本身的物理规律始终不变”这一很弱的假设，就可以建立相应的数学。因此既然我们论述了费曼路径积分是△t→0的稳态下世界的必然，那么黑洞必须应以费曼路径积分或与之同构的数学结构中出现的结果为基础，而不应出现与此不相匹配的近似。 世界本身是无穷细分的，在引力相互作用和电弱相互作用的研究方法中，都做了相当程度的近似，即使这样也仍然与实验有较好的符合程度。但事实上，无穷小→宏观、高能量尺度→低能量尺度的研究建立一种不依赖于近似，而仅仅是研究如何准确模拟真实世界的无穷小的科学；而对于无穷可以建立研究无穷的学科，例如调和分析，逐渐优化到“真实世界的无限”对应的那个数学结构的无限，从而得到不依赖实验观测，且与真实世界“无限逼近”的数学结构。 在研究时空与因果性的表示过程中，我们仍然有很大发挥创造性的空间。如果因果性仅仅是“人们对宇宙演化永远遵循恒定物理规律”的信念，时空也是数学结构，那么我们为何不在数学的这一分支中，找到更多更广泛的结构呢？本文中之所以不用另外的词语概括时间，如“熵增和最小作用量原理作用”下的方向性，是因为它只是“数学结构”的其中一种情况。而与此同时，或许可以有相互等价的无数数学结构。这样便或许可以构建彼此同构且人们没有想到的无数种“统一场理论”。 7.数学手段的创造力和多样性 是否每一个典型的现象都可以用相应的数学结构来表示。“统一场论”中，时间、因果性都可以在相应的方程里出现或不出现，那么，数学的强大是否可以描述更广阔的元问题，比如对应世界的动态性和无限可能的动态的数学结构，比如时间意义下两侧的无限延伸的整体的描述、意识过程的无限嵌套，和更广阔的数学结构的无限嵌套。此外，如果描述同一现象的数学手段十分丰富，那么是否不必拘泥于现有的描述，而找到与前人描述同构的更简单或更复杂的无限种描述。与此同时，创造更好的机器又反作用于数学结构的演算，从而造福生活…… 三、展望与总结： 如果理性的极限是对能量和场的无限运用，那么理性的极限便也是感性的起点。在已有数学手段、已有的科技对远高或远小于人的能量尺度的计算与运用的基础上，如何发挥更广阔的创造力，如何解决拉普拉斯妖的决定论之后，自由意志、创造力和情感的消解。或许相比理性，更有力量的是一个人可以在理性和感性之间任意的转换，无限次深入的观察，无限次联觉，无限次身临其境的体验与回望，直到方法、知识、回忆的一切栩栩如生，直到感性和理性二者不再互相牵制，容错地追求正确和完整又不被任何一个时代的潮流所干扰……最后希望数学在未来更好地造福我们的生活。