【初中数学-几何】深入剖析费马点问题

2021-10-05 11:49 作者:Rotas-math_lover 0人读过 | 我要投稿

一. 费马点简介

费马点是到一个三角形三个顶点的距离和最小的点

要解决费马点问题，你需要知道：

两点之间线段最短
旋转的基本性质
勾股定理

要解决加权费马点问题，你需要知道：

以上三条
余弦定理

普通的费马点问题又分为两种：一种是三角形的三个内角均小于120°，一种是三角形中与一个内角大于或等于120°，下面分别进行说明

二. 三角形内角均小于120°的费马点

直接上题

没做过费马点的同学可以先尝试一下，可能会有点难度（提示：可以从旋转的方向思考）

下

面

是

思

考

留

白

这里先把辅助线的做法说一下，读者请自行领会其中的妙处

如图，将 $%5Ctriangle%20APC$ 绕点A逆时针旋转60°得到 $%5Ctriangle%20AP'C'$ ，所以 $PC$ 被转化到了 $P'C$ 。

总所周知，旋转60°一定或出现等边三角形，在上图中 $%5Ctriangle%20APP'$ 为等边三角形，所以 $AP$ 被转化到了 $PP'$

再根据两点之间线段最短，将 $PB%E3%80%81PP'%E3%80%81P'C'$ 三条线段拉直得到线段 $BC'$ ，

而又 $%5Cangle%20BAC'%3D%5Cangle%20BAP%2B%5Cangle%20CAP%2B%5Cangle%20PAP'%3D90%C2%B0$

再根据勾股定理得到 $(PA%2BPB%2BPC)_%7Bmin%7D%3DBC'%3D%5Csqrt%7B41%7D$

这是费马点问题最常规的做法，体现了转化的数学思想，并充分利用了几何中最重要，也是最基础的变换——旋转，所以一定要掌握

下面再分析一道题

按照上一题的思路做出辅助线，如下

仍然得到最小值为 $BC'$ 的长，此时 $%5Cangle%20BAC'%3D120%EF%BC%8CAB%3D5%EF%BC%8CAC'%3D3$ ，此时需要构造直角三角形，解三角形 $%5Ctriangle%20ABC'$ 即可得到结果（或者直接用余弦定理）

归纳总结

对于一般的费马点问题，只需要从三个三角形（ $%5Ctriangle%20PAB%E3%80%81%5Ctriangle%20PBC%E3%80%81%5Ctriangle%20PCA$ ）中选一个条件比较多的三角形，向外旋转60°，然后通过解三角形求解即可

三. 有一个内角大于或等于120°的费马点

这类费马点在中学阶段一般很少涉及，而且它有一个固定的结论，即这种三角形的费马点就是最大角的顶点，所以这个只当了解即可

下面对这个结论给出简单的证明

有兴趣的读者也可以想想为什么不旋转60°（最好用作图软件画一下，光想的话有点废脑子）

四. 加权费马点

顾名思义，加权费马点就是在费马点的基础上赋予一定的权重，具体可看下面这一道例题

有兴趣的同学现在就可以挑战一下了

下

面

是

思

考

留

白

分析：在题目要求的线段中 $AP$ 和 $CP$ 前面都多了一个系数，而 $BP$ 不变，所以我们要把 $BP$ 留下来，对 $%5Ctriangle%20APC$ 进行旋转放缩等处理。根据费马点的经验， $CP$ 经过旋转后是直接得到的，所以旋转后，我们需要将三角形放大到原来的2倍，从而 $AP$ 也扩大到原来的2倍，再根据余弦定理，三角形的一边长为1（即AP），另一边长为2（即AP'），旋转角的对边要为 $%5Csqrt%7B3%7D$ （即PP'），可以得到旋转角为60°（即 $%5Cangle%20PAP'$ ），至此就可以求解答案了