圆周的基本群（2）

接下来的lemma则间接说明了道路同伦的提升仍然是道路同伦：

证明如下：

对于此题，思路与lemma54.1如出一辙，所以证明唯一性类似于lemma54.1。 而如果F是道路同伦，我们只需利用下方第二个图中I*I的连通性，说明F的提升将正方形左边（0*I）和右边（1*I）映射到单点集即可（B中单点对于p的逆作为E的子空间具有离散拓扑） 示意图如下：

（抽象版）

（简化版） 由lemma54.2启发，我们直接找出两个道路同伦的道路，观察其提升后的关系，就有如下的lemma：

证明如下：

（图示）

下面将考虑基本群了，首先定义提升对应：

则有lemma54.4，该定理说明了E满足某些连通性质后，提升对应将有很好的性质:

证明如下：

其中最后一步，我们用E单连通来说明f的提升与（-g）的提升的粘接与e0本身的恒同道路同伦（E的单连通性质），进而说明f的提升与g的提升道路同伦。 我们对于Sn的基本群非常感兴趣，下一个lemma说明了S1基本群的性质：

接下来，我们将lemma54.4做出加强：

第一问的证明如下：

其运用了线代的一个小结论：单同态等价于核平凡。 第二三问证明如下：

简单的按照定义即可。