2023数分Day61(多元函数的极限与连续1：累次极限与重极限)

一、整体感受

1、整体感觉还是轻松的。

2、但也有一些点没有把握好，

例如：说明重极限不存在时取的路径选择上有一些不熟悉；

做极坐标变换时xy=r^2sinθcosθ，但题目中需要的是x^2*y^2，看到xy中有r^2，就误认为是r^2了等

3、先做，再总结，再按总结思路做一遍。【！！！】

二、需要复习（学习）的

1、累次极限与重极限相关定理及课本例题

（1）累次极限和重极限的定义

（2）累次极限和重极限的相关定理与例题

（3）二元函数极限的唯一性定理、局部有界性定理、局部保号性定理

2、说明重极限不存在的路径选择问题（以华南师大真题为例）

3、思路问题，多做题总结出的【精华】

（1）有重极限的求解思路：

①如果分母遇到“根式-根式”情形，往往会分母有理化来做，有时候可能还要结合极坐标变换（如果题目出现x^2、y^2的话）。

【注：有时候也可以先极坐标变换，然后再分母有理化】

②如果重极限可能为0，考虑使用迫敛性，往往会先对f取绝对值，来做放缩（比较经典的有|sinx|≤|x|；|cosx|≤1，x^2/(x^2+y^2)≤1），最后做出两边极限为0，利用迫敛性，得出重极限为0.

（2）没有重极限的求解思路：

①取不同路径（具体取法可见本专栏二、2的解析，这很关键），注意就算没有重极限，遇到“根式-根式”情形，也要做有理化！

发现，随着不同路径最后极限值不一样，这就说明重极限不存在。

②利用两个累次极限存在但不相等，说明重极限不存在

③要特别注意如果有三角函数，是否可以利用三角函数极限的性质，比如sinx（x→∞）就没有极限，sin(1/x)(x→0）也没有极限，可以充分利用这个来证明。

比如:f(x,y)=sinx*siny（x→∞，y→∞）,就是因为sinx和siny在-1→1之间震荡，所以没有重极限，同时也没有累次极限。

（3）有/没有累次极限的求解思路：

面对累次极限求解，先求一个，再求另一个。正常算就可以。

如果求第一个的过程中已经不存在了，那么整体就是不存在的。

算的过程中要特别注意如果有三角函数，可以利用三角函数极限的性质，比如sinx（x→∞）就没有极限，sin(1/x)(x→0）说明没有累次极限。

注意一点：

就算两个累次极限都不存在，重极限也可能存在；

就算两个累次积分都存在，   重极限也可能不存在。

（这一点在补充的历年真题中可以体现到，

①对于求重极限，我就算把两个累次极限都求出来，就算二者存在且相等也并不能说明重极限存在，只有当这两个累次极限存在但不相等时候，才能说明重极限不存在；

历年真题1说明了就算累次极限存在且相等，重极限也并不存在；历年真题2本身就是让你求二重极限的，说明重极限必然存在，直接按照求解重极限的思路做就可以了，不需要去看累次极限是否存在且不等了。）

4、补充的2道历年真题 以及3道课后好题：

（1）历年真题

【真题1】

【真题2】

【注：最后是|sinx|≤|x|，x∈R的证明】

（2）课后好题

三、具体题目

1（合肥工大）

①观察题目，说是讨论，不知道具体有没有

②那就先求累次极限，注意如果先对x→0，要假设x,y非0.

发现由于三角函数极限不存在，那么两个累次极限都不存在；同时，也没法用累次极限存在但不相等来推出重极限不存在；

③下面求重极限，发现有三角函数，观察可能重极限为0，我就利用放缩，使用迫敛性。

【注意：要分xy=0和xy≠0两种情况讨论，不能漏。】

2(西南财大）

①观察，题目已经告诉你重极限不存在了，所以就用三种证明重极限不存在的思路来尝试，发现取不同路径不行；也没有三角函数性质来利用；只剩下一种通过利用累次积分存在但不相等来做

②算出两个累次极限，发现一个为0，一个为-1，不等

③由于2个累次极限存在但不相等，说明重极限不存在。

3（华东师大）

①题目让你判断是否存在重极限，也没具体交代有没有，只能自己探索。

②感觉可能重极限不存在，所以从重极限不存在三种思路来选择一种，发现由于没有三角函数，不能用；同时算出两个累次极限发现为0，无法利用累次极限存在但不相等来说明重极限不存在；剩下只有一种取不同路径得到不同极限来做，遇到根式-根式情形，先做一下分母有理化，发现分母为x+y情形，次数一样，首先取一个y=x，得到的重极限为0，接下来要取的这个路径应该使得这个重极限不为0，发现取y=-x+x^2,算出的重极限为-2≠0（具体取法的原因见本专栏二、2）这才能说明重极限不存在。

4（华南师大）

①题目已经让你求重极限，说明默认重极限存在，选择重极限存在的两种思路之一，观察到重极限可能不为0，不选择迫敛性做了；又有根式，所以先做了分母有理化

②有理化后发现有点麻烦，化成极坐标做，注意仔细点，不要弄错，最后化成关于r和θ极限，当r趋于0时候，重极限为-2.

【注：我选择了先分母有理化再求极坐标做；但我经过尝试，发现也可以先求极坐标再有理化，也可以的；两种思路都可以，结果都是-2】