2023数分Day56+57（幂级数4+5：逐项取极限与逐项积分、理论问题补充）

一、整体感觉

对着答案写一遍；自己写一遍；写的错误修正后再理解着写一遍；三遍基本上思路就清楚了

二、需要复习的

1、归结原则

2、ε-N语言

3、放缩的技巧

4、等比级数求和公式

5、迫敛性的应用

6、可导与连续关系

7、连续性的应用（如运算符和极限符的交换）

8、Rolle中值定理使用

9、单调有界定理使用

10、Taylor定理

三、具体真题

Day56

1【电子科大】（可以比较一下Tauber定理，具体证明见专栏“Day56补充”）

一问做法：

1、把极限记出来，用归结原则

2、用ε-N语言写出三个定义式

3、放缩，过程中还会用到等比数列求和,1-x^n拆成多项式乘积等应用细节，多写几遍，多感受。

二问：举个反例an=(-1)^n即可，注意它与x^n结合，可以变成（-x）^n

2【大连理工】

理论性没有电子科大强，思路也比较明晰。

思路就是左边=右边，两边分别入手，最后发现结果相等就证明好了。

左边：

①先对级数求出收敛半径，然后关注端点0和1，得到最后收敛域为【0，1）；

②再根据一致收敛定理（数分下定理14.4：收敛区间内任意闭区间一致收敛），于是任取|x|≤1-ε，（任取ε∈（0，1），注意ε范围不仅仅是要大于0，还要求小于1！不要漏写了），得到幂级数绝对收敛且一致收敛

③再利用幂级数的连续性（因为幂级数本质上就是一个多项式，是初等函数，存在连续性），可以交换积分与求和的顺序，这里还要取个极限，积分上限为1-ε，外面的极限使得ε趋于0+，用于顺利求积分，最后得到为数项级数Σ（1/n^2）=π^2/6

右边：直接先求出积分，然后得到数项级数Σ（1/n^2）=π^2/6；

发现左边=右边；

得到最终结果

Day57

1【武汉大学】

具体做法：

①先根据题干说f(x)仅有正实根，设出所有互异的正实数，写出f(x)用多个解的形式组成的多项式，注意确定0<x1<X2<...<xs;k1,k2,...,ks是正实数

②然后再由题干表达式，求f'(x)，构建与f(x)关系

③满足等比级数求和的收敛范围的时候，即设|x|≤x1，求-f'(x)/f(x),得到最后的Σcn*x^n，利用展开式系数的唯一性得到cn

对于一问：发现cn明显各项>0，得证；

对于二问：cn首先大于等于第一项k1/x1^(n+1),然后同时≤（k1+...+ks）/x1^(n+1),把分母放缩到最小的x1^(n+1),使得整体最大；然后开n次方根，利用迫敛性得到cn的n次方根趋于1/x1；最后利用极限的四则运算法则，取个倒数，得到极限趋于x1，恰好这个x1也是我假设的f(x)的根中的最小值，因此得证。

关键：1、在于充分利用题干信息，以及一些放缩技巧的使用

2、求f'(x)且与f(x)构建关系的时候要细心一点，注意对于n个式子乘积求导的规律要熟悉！

3、对于过程中cn最后求出的那个展开式系数的唯一性，将在下一专栏特别予以说明。

2【同济大学】

做法：

①利用（ii）和（i）的条件得到R上各阶可导以及可使用连续性得到f(0)=0；

②利用Rolle中值定理，得到f'(yn)=0;

③为说明yn的极限存在，利用单调有界定理，去证明yn单调递减，注意到xn+1<yn<xn，Rolle中值定理证明时候使用到的，然后迭代代n+1→n,得到xn+2<yn+1<xn+1，因此yn+1<xn+1<yn，所以yn单调递减，且yn有下界，所以单调递减（注：这里证明yn单调递减有下界，为了利用单调有界原理为后面连续性铺路）

④充分利用一下迫敛性，由于xn+1<yn<xn,而两端由题干（i）知道其趋于0，因此yn极限为0;

⑤此时使用f'在R上连续性，得到f'(0)=f'(limyn)=limf'(yn)=lim0=0;

⑥以此类推，得到f^(n)（0）=0，任取n=0,1,2,....

⑦由Taylor定理，得到任取x属于R以及n属于Z+，存在ξ属于R，得到f(x)=f(0)+f'(0)x+...+f^(n)(0)x^n/n!+f^(n+1)(ξ）x^n+1/(n+1)!.因此利用各阶导数在x0=0处为0的情况，得到f(x)就等于最后一项；让两边取绝对值，然后利用题干（ii）放缩，最后对于|x|^(n+1)/(n+1)!对于固定的x∈R都有极限为0（证明过程见下图），最后可知|f(x)|≤0，这迫使|fx)|恒等于0，即f(x)恒等于0，任取x∈R.

最后那个极限为何为0的说明：