【菲赫金哥尔茨微积分学教程精读笔记Ep67】实数完备性第四波定理互推（上）

我们在Ep21聊了“实数完备性”的第一个定理——“确界原理”：非空有上界的数集必有上确界；非空有下界的数集必有下确界。

我们在Ep49介绍了“实数完备性”的第二个定理——“单调有界原理”：单调有界数列必收敛。

我们在Ep61介绍了“实数完备性”的第三个定理——“闭区间套定理”：

1. 闭区间套的无限序列——In=[an，bn]，n为正整数，满足：I1包含I2包含……包含In包含In+1包含……；

2. lim（bn-an）=0，n趋向于无穷大时——

则这些区间的公共部分为唯一的一点/一个数。

我们在Ep66介绍了“实数完备性”的第四个定理——“柯西准则”：

条件：对于任意小数ε>0，存在自然数N，当n>N且n'>N时，有|xn-xn'|<ε；

结论：数列{xn}有极限x，即对于任意小数ε'>0，存在自然数N'，当n>N'时，有|xn-x|<ε'。

今天我们来从“确界原理”推导“柯西准则”，其中必要性证明同Ep66，我们只证明充分性。

充要条件，必然证明分为必要性和充分性两部分——

a.必要性：用数列极限的定义证明即可。

b.充分性——

已知：对于任意小数ε>0，存在自然数N，当n>N且n'>N时，有|xn-xn'|<ε；

求证：数列{xn}有极限x，即对于任意小数ε'>0，存在自然数N'，当n>N'时，有|xn-x|<ε'。

工具：确界原理（：非空有上界的数集必有上确界；非空有下界的数集必有下确界）。

分析：这里最关键的步骤是非空有界数集的构造（思想类似于Ep66实数分划的构造）

——构造两个数集A和B，对于A中任意元素aj，有aj=min{xj，……，xn，……}<=max{x1，……，xn，……}，对于B中任意元素bk，有bk=max{xk，……，xn，……}>=min{x1，……，xn，……}，就此得到两个数集，证明分三步。

证明：

step1：构造两个数集，证明其满足非空有上（下）界——

1. 构造两个数集A和B，对于A中任意元素aj，有aj=min{xj，……，xn，……}，对于B中任意元素bk，有bk=max{xk，……，xn，……}；

2. 对于A，必然含有元素min{x1，……，xn，……}，对于B，必然含有元素max{x1，……，xn，……}；——非空

3. 由于对于任意m<n，有am=min{xm，……，xn，xn+1，……}<=an=min{xn，xn+1，……}，所以{an}是一个单增数列，同理，{bn}是一个单减数列；

4. （反证法）由3，假设{an}无上界，即对于任意大数E>0，存在自然数N'，n>N'时，有an>aN'>=E，又因为{xn}是柯西列，对于任意小数ε>0，存在自然数N"，当n>N"且n'>N"时，有|xn-xn'|<ε，取N=max{N'，N"}，n>N+1时，有an-aN+1<ε，即an<aN+1+ε，如果取E=aN+1+ε，导出矛盾，an>E=aN+1+ε，故而{an}即A有上界，同理{bn}即B有下界；

5. 由确界原理可知，A有上确界a，B有下确界b。

step2：证明a=b——

1. 对于任意自然数n，有an=min{xn，xn+1，…… }，bn=max{xn，xn+1，……}，所以，an<=bn；

2. 由于对于任意m<n，有am=min{xm，……，xn，xn+1，……}<=an=min{xn，xn+1，……}，所以{an}是一个单增数列，同理，{bn}是一个单减数列；

3. 由2易得，a1<=a2<=……<=an<=……<=a，b1>=b2>=……>=bn>=……>=b；

4. 由数列为柯西列，则对于任意小数ε>0，存在自然数N，当n>N时，an=min{xn，xn+1，……}，bn=max{xn，xn+1，……}，bn-an=|max{xn，xn+1，……}-min{xn，xn+1，……}|<ε；

5. 由3，4易得，对于任意小数ε>0，存在自然数N，当n>N时，b-a<=bn-an<ε，即a=b，这个值记为x。

step3：证明x即为所求数列极限——

1. 因为x是A的上确界，所以对于任意小数ε>0，存在自然数N，x-ε<aN<=aN+1<=……<=an<=……<=x，同理，存在自然数N'，x+ε>bN'>=bN'+1>=……>=bn>=……>=x；

2. an=min{xn，xn+1，……}<=xn，同理，bn>=xn，即an<=xn<=bn；

3. 由1，对于任意小数ε>0，存在自然数N，n>N时，0<=x-an<ε，-ε<x-bn<=0；

4. 由2,3，对于任意小数ε>0，存在自然数N，n>N时，|xn-x|<=max{|x-an|，|x-bn|}<=ε，即x为{xn}的极限，证毕。

今天就到这里！