复习笔记 Day116

2023-03-13 23:54 作者:间宫_卓司 0人读过 | 我要投稿

前几天收到了网友的一份复试面试常见问题，上面的问题大部分我都是会的，但是万一回答的时候一紧张就说错了可就不好了，不过定义感觉没什么好整理的，所以这里只整理了一部分的问题。我只整理了我复试会问的部分

数学分析部分：

1.黎曼函数的定义和性质

定义略，不过需要注意到在 $x%3D0$ 处的定义为 $R(0)%3D1$ ，性质：黎曼函数在无理点处连续，有理点为第三类不连续点（即可去间断点）。证明思路：只需要注意到分母为 $p$ 的有理数的个数在区间 $%5B0%2C1%5D$ 上有限即可（这么简单的证明我当初怎么就看不明白呢？）

2.闭区间套定理改成开区间套对不对？

闭区间套定理：设数列 $%5C%7Ba_n%5C%7D%2C%5C%7Bb_n%5C%7D$ 分别单调递增和单调递减，且 $a_n%5Cle%20b_n%2C%5Cunderset%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%7D%7B%5Clim%7D%5Cleft(%20a_n-b_n%20%5Cright)%20%3D0$ ，那么存在唯一的 $%5Cxi%5Cin%20%5Ba_n%2Cb_n%5D$ ，且 $%5Cxi%20%3D%5Cunderset%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%7D%7B%5Clim%7Da_n%3D%5Cunderset%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%7D%7B%5Clim%7Db_n$

改成开区间套结论就不一定成立了，例如取 $a_n%3D0%2Cb_n%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D$ ，不过如果把条件加强一下，改成 $%5C%7Ba_n%5C%7D%2C%5C%7Bb_n%5C%7D$ 分别严格单调递增和严格单调递减，并且 $a_n%3Cb_n$ ，结论又成立了

3.驻点(稳定点)一定是极值点吗, 若不是举反例

驻点是指使函数的一阶导为0的点，不一定是极值点，例如y=x^3，x=0是驻点，但是不是极值点

4.叙述定积分与不定积分的关系

给定函数 $f$ ，如果存在函数 $F$ ，使得 $F'%3Df$ ，就称 $F$ 为 $f$ 的一个原函数， $%5Cint_%7B%7D%5E%7B%7D%7Bf(x)%5Cmathrm%7Bd%7Dx%7D$ 就是全体原函数构成的集合，如果 $f$ 存在原函数 $F$ ，那么通过牛顿-莱布尼兹公式，可知 $%5Cint_a%5Eb%7Bf%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%5Cmathrm%7Bd%7Dx%7D%3DF%5Cleft(%20b%20%5Cright)%20-F%5Cleft(%20a%20%5Cright)%20$ 对任意 $a%2Cb$ 都成立

反过来，如果 $f$ 存在原函数，那么 $%5Cint_%7B%7D%5E%7B%7D%7Bf%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%5Cmathrm%7Bd%7Dx%7D%3D%5Cint_a%5Ex%7Bf%5Cleft(%20t%20%5Cright)%20%5Cmathrm%7Bd%7Dt%7D%2BC$

5.举出收敛的无界反常积分的例子

其实这样的例子随便举都可以吧···

$y%3D1_%7B%5Cmathbb%7BN%7D%7D%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20$

6.(0,1)是完备的吗？

一个数集完备是指以这个数集中的元素为数列的极限仍然在这个数集里面，所以(0,1)显然是不完备的

7.叙述压缩映射的概念和不动点定理

这个按道理是泛函分析的东西，就按泛函分析上面的知识来写吧

设 $(X%2Cd)$ 是完备的距离空间， $T%3AX%5Crightarrow%20X$ ，如果对任意 $x%2Cy%5Cin%20X$ ，成立不等式

$d%5Cleft(%20Tx%2CTy%20%5Cright)%20%5Cle%20Ld%5Cleft(%20x%2Cy%20%5Cright)%20$

其中 $0%3CL%3C1$ ，那么就称 $T$ 是一个压缩映射，（其实拓扑里面也有其他的不动点定理吧，但在这里应该指的是这个）不动点定理指的是：如果 $T$ 是一个压缩映射，那么存在唯一的 $x%5Cin%20X$ ，使得 $Tx%3Dx$

8.黎普西次连续和一阶可导哪个更强?

一个函数黎普西次连续是指存在 $L$ ，对任意给定的 $x%2Cy%5Cin%20%5Ctext%7BR%7D$ ，成立不等式

$%5Cleft%7C%20f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20-f%5Cleft(%20y%20%5Cright)%20%5Cright%7C%5Cle%20L%5Cleft%7C%20x-y%20%5Cright%7C$

这两个条件应该不存在相互包含的关系，例如 $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3D%5Cleft%7C%20x%20%5Cright%7C$ 是利普希茨连续的，却不是可导的， $f(x)%3Dx%5E2$ (在 $%5Ctext%7BR%7D$ 上)是可导的，却不是利普希茨连续的

即使把问题限制在长度有限的闭区间上，两个定义仍然是互不包含的，

例如取

$f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3D%5Cbegin%7Bcases%7D%0A%090%2Cx%3D0%5C%5C%0A%09x%5E2%5Csin%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E3%7D%2Cx%5Cne%200%5C%5C%0A%5Cend%7Bcases%7D$

那么 $f(x)$ 在 $%5B-1%2C1%5D$ 上连续可导（按定义可以算出 $f'(0)%3D0$ ），但是

$f'%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3D2x%5Csin%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E3%7D-%5Cfrac%7B3%7D%7Bx%5E2%7D%5Ccos%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E3%7D$

所以依拉格朗日中值定理， $f(x)$ 仍然不是李普希兹的

（下册的知识是一点没有啊···）

概率论与数理统计部分：

1.你对大数定律的理解

（大数定律在应坚刚的第七章，然后第七章我基本全跳了，有空再补上吧）

大数定律指的是一列随机变量序列如果满足一定的条件，那么它们的均值就会依概率收敛于它们的期望的均值，常见的大数定律有伯努利大数定律，切比雪夫大数定律，辛钦大数定律

2.如何判断事件和随机变量的独立性?分别举出随机变量独立和不独立的例子

事件独立的定义是指，对于给定的事件 $A%2CB$ ，如果成立 $%5Cmathbb%7BP%7D%20%5Cleft(%20AB%20%5Cright)%20%3D%5Cmathbb%7BP%7D%20%5Cleft(%20A%20%5Cright)%20%5Cmathbb%7BP%7D%20%5Cleft(%20B%20%5Cright)%20$ ，就称事件 $A%2CB$ 独立，对于随机变量而言，两个随机变量 $%5Cxi%2C%5Ceta$ 相互独立是指

$%5Cmathbb%7BP%7D%20%5Cleft(%20%5Cxi%20%5Cle%20x%2C%5Ceta%20%5Cle%20y%20%5Cright)%20%3D%5Cmathbb%7BP%7D%20%5Cleft(%20%5Cxi%20%5Cle%20x%20%5Cright)%20%5Cmathbb%7BP%7D%20%5Cleft(%20%5Ceta%20%5Cle%20y%20%5Cright)%20$

对任意 $x%2Cy$ 都成立

对于离散的随机变量而言，这等价于

$%5Cmathbb%7BP%7D%20%5Cleft(%20%5Cxi%20%3Dx%2C%5Ceta%20%3Dy%20%5Cright)%20%3D%5Cmathbb%7BP%7D%20%5Cleft(%20%5Cxi%20%3Dx%20%5Cright)%20%5Cmathbb%7BP%7D%20%5Cleft(%20%5Ceta%20%3Dy%20%5Cright)%20$

对于连续型随机变量而言，这等价于

$p%5Cleft(%20x%2Cy%20%5Cright)%20%3Dp_%5Cxi%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20p_%5Ceta%5Cleft(%20y%20%5Cright)%20$

其中 $p(x%2Cy)$ 是随机向量 $%5Cleft(%20%5Cxi%20%2C%5Ceta%20%5Cright)%20$ 的概率密度函数，右边分别是 $%5Cxi%2C%5Ceta$ 的概率密度函数

举例略

3.符合中心极限定理的随机变量服从什么分布?

这个问题问的比较让人费解，按我的理解，中心极限定理指的是

$%5Cbegin%7Bequation%7D%0A%5Clim%20_%7Bn%20%5Crightarrow%20%5Cinfty%7D%20%5Cmathbb%7BP%7D%5Cleft(%5Cfrac%7B%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%5Cleft(%5Cxi_i-%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Cxi_i%5Cright)%7D%7B%5Csqrt%7BD%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%20%5Cxi_i%7D%7D%20%5Cleq%20x%5Cright)%3D%5CPhi(x)%0A%5Cend%7Bequation%7D$

也就是一个随机序列求和再标准化后其分布函数收敛于标准正态分布的分布函数

硬要问服从什么分布的话，那至少是随机序列中的每一项的期望都存在，且

$0%3CD%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%7B%5Cxi%20_i%7D%3C%5Cinfty%20$ 的分布吧···

4.叙述中心极限定理和它的应用

应用：如果一组随机序列符合中心极限定理，那么可以在不需要对具体的分布进行操作的前提下，知道这组分布求和并标准化后分布函数大致长什么样

5.叙述二项分布和泊松分布的关系

如果一个离散随机变量 $X$ 满足

$%5Cmathbb%7BP%7D%20%5Cleft(%20X%3Dk%20%5Cright)%20%3D%5Cleft(%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%0A%09n%5C%5C%0A%09k%5C%5C%0A%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright)%20p%5Ek%5Cleft(%201-p%20%5Cright)%20%5E%7Bn-k%7D%2Ck%3D0%2C1%2C%5Ccdots%20%2Cn$

就称 $X$ 服从二项分布 $b%5Cleft(%20n%2Cp%20%5Cright)%20$

如果一个随机变量 $Y$ 满足

$%5Cmathbb%7BP%7D%20%5Cleft(%20Y%3Dk%20%5Cright)%20%3De%5E%7B-%5Clambda%7D%5Cfrac%7B%5Clambda%20%5Ek%7D%7Bk!%7D%2Ck%3D0%2C1%2C%5Ccdots%20$

就称 $Y$ 服从泊松分布 $P%5Cleft(%20%5Clambda%20%5Cright)%20$

因为 $%5Cunderset%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%7D%7B%5Clim%7D%5Cleft(%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%0A%09n%5C%5C%0A%09k%5C%5C%0A%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright)%20p_%7Bn%7D%5E%7Bk%7D%5Cleft(%201-p_n%20%5Cright)%20%5Ek%3D%5Cfrac%7B%5Clambda%20%5Ek%7D%7Bk!%7De%5E%7B-%5Clambda%7D$ ，若 $np_n%5Crightarrow%20%5Clambda%20$ ，所以如果 $n$ 很大，可以用 $%5Cfrac%7B%5Clambda%20%5Ek%7D%7Bk!%7De%5E%7B-%5Clambda%7D$ 去代替，避免组合数的计算

6.矩估计的衡量标准是什么

按道理要写一下矩估计的定义，但是我摆了

衡量矩估计一般有以下三个标准

1.无偏性

如果一个矩估计满足 $%5Cmathbb%7BE%7D%20_%7B%5Ctheta%7D%5Cleft(%20%5Chat%7B%5Ctheta%7D%20%5Cright)%20%3D%5Ctheta%20$ ，就称这个矩估计是无偏的，即对由样本构成的随机变量 $%5Chat%7B%5Ctheta%7D$ 的期望恰好就是参数自身

2.有效性

设 $%5Chat%7B%5Ctheta%7D_1%2C%5Chat%7B%5Ctheta%7D_2$ 是两个 $%5Ctheta%20$ 的无偏估计，如果 $D%5Cleft(%20%5Chat%7B%5Ctheta%7D_1%20%5Cright)%20%5Cle%20D%5Cleft(%20%5Chat%7B%5Ctheta%7D_2%20%5Cright)%20$ ，且至少有一个 $%5Ctheta%20$ 使得不等号严格成立，就称 $%5Chat%7B%5Ctheta%7D_1$ 比 $%5Chat%7B%5Ctheta%7D_2$ 有效

3.相和性

如果估计量 $%5Chat%7B%5Ctheta%7D_n$ 满足 $%5Cunderset%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%7D%7B%5Clim%7D%5Cmathbb%7BP%7D%20%5Cleft(%20%5Cleft%7C%20%5Chat%7B%5Ctheta%7D_n-%5Ctheta%20%5Cright%7C%5Cge%20%5Cvarepsilon%20%5Cright)%20%3D0$ ，即估计量依概率收敛于 $%5Ctheta%20$ ，就称 $%5Chat%7B%5Ctheta%7D_n$ 是 $%5Ctheta%20$ 的相合估计