【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】我在原有“自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教中学甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。

第二章代数式 

§2-3列代数式

【01】在代数里，我们常常需要把用文字叙述的一句话或一些计算关系列成代数式，举例如下：

例1.用代数式表示：(1)一个数 a 的 3 倍；(2)一个数 b 的平方；(3)两个数 a 与 b 的和；(4)一个数 a 的 3 倍加上 5  。

【解】(1) 3a；(2) b²；(3) a＋b；(4) 3a＋5  。

【注意】a 的 3 倍，就是 a×3，但是，习惯上总把数字因数写在前面，所以写做 3a  。

例2.用代数式表示：(1)两个数 a 与 b 的和的 3 倍；(2)一个数 a 的 3 倍与另一个数 b 的 5 倍的和；(3)数 a 的平方与数 b 的平方的和；(4)两个数 a 与 b 的和的平方。

【解】(1) 3(a十b)；(2) 3a＋5b；(3) a²＋b²；(4) (a＋b)²  。

【注意】根据先乘除、后加减的运算顺序的规定，在代数式里，要表示先乘除后加减的运算就不必用括号；如果要表示先加减后乘除的运算，就需要用括号。同样的，先乘方后加就不需要括号，先加后乘方就需用括号。

例3.用代数式表示：(1)一个数 a 的平方的 3 倍；(2)一个数 a 的 3 倍的平方；(3)一个数 a 的平方的相反的数；(4)一个数 a 的相反的数的平方。

【解】(1) 3a²；(2) (3a)²；(3)－a²；(4) (－a)²  。

【注意】根据先乘方后乘除的运算顺序的规定，在代数式里，表示先乘方后乘除，不必用括号；如果要表示先乘除后乘方，就要用括号。

例4.有一个数是 x，列出代数式表示比 x 大 1 的数，比 x 小 3 的数。

【解】比 x 大 1 的数就是 x＋1；比 x 小 3 的数就是 x－3  。

例5.有一个数是，列出代数式表示比 x 的 3 倍还大 5 的数，比 x 的倒数小 6 的数。

【解】比 x 的 3 倍还大 5 的数：3x＋5。比 x 的倒数小 6 的数：－6  。

例6.一个分数的分子是 x，分母此分子的 2 倍大 3，列出代数式表示这个分数；列出代数式表示这个分数的倒数。

【解】这个分数是；这个分数的倒数是  。

例7.汽车的速度平均每小时 m 公里，(1) 3 小时共行多少公里？(2) t 小时共行多少公里？(3)要行 100 公里需要多少小时？(4)要行 s 公里需要多少小时？

【分析】速度、时间与行程三个量之间的关系是：速度×时间＝行程，或 时间＝  。

【解】

(1)汽车 3 小时共行 3m 公里；

(2)汽车 t 小时共行 mt 公里（或 tm 公里）；

(3)要行 100 公里需要小时；

(4)要行 s 公里需要小时。

例8.有一块长方形土地，它的长是 a 米，宽是 b 米，(1)面积多少平方米？(2)如果要在这块地的四边挖掘一条沟，这条沟的内圈一共多少长？

【分析】长方形的面积＝长×宽。长方形的周长＝（长＋宽）×2  。

【解】

(1)这块土地的面积是 ab 平方米；

(2)这条沟的内圈的总长是 2(a＋b) 米。

习题2-3

1、写出下列代数式：

(1)一个数 a 的 10 倍；[解法举例：10a ]

(2)一个数a加上10【a+10】；(3)一个数 a 的五分之一【a】；

(4)一个数 a 加上 【a+】；(5)一个数 a 减去 5；

(6)从 5 减去一个数 a；(7)一个数 a 除以 5；

(8) 5 除以一个数a；(9)一个数 a 的 b 倍；

(10)一个数 a 除以另一个数 b  。

2、如 a，b 表示数，写出下列代数式：

(1) a 与 b 的和；[解法举例：a＋b ]

(2) a与b的积；(3) a 的 4 倍与 b 的 3 倍的和；

(4) a 与 b 的积再加上 5；(5) a 的 3 倍与 b 的五分之一的和；

(6) a 的  与 6 的 5 倍的和；(7) a 的平方与 b 的平方的和；

(8) a 的平方与 b 的和；(9) a 的 3 倍与 b 的平方的和；

(10) a 的平方与 b 的立方的和。

3、写出下列代数式：

(1) a 与 b 的和的  3倍；[解法举例：3(a＋b) ]

(2) a 与 b 的和的平方；(3) a 加 3 所得的和的 5 倍；

(4) a 加 3 所得的和的平方；(5) a 与 b 的和的立方；

(6) a 与 b 的积的平方；(7) a 除以 b 后所得的商的立方；

(8) a 加 b 所得的和除以 a 与 b 的积；

(9) a 的 3 倍与 b 的 2 倍的和除以 a 的 2 倍与 b 的 3 倍的和；

(10) a 的平方与 b 的平方的和的平方。

4、写出下列代数式：

(1) a 与 b 的和的相反的数；[解法举例：－(a＋b) ]

(2) a 的相反的数与 b 的和；

(3) a 的相反的数与 b 的相反的数的代数和；

(4) a 的平方的相反数加上5；(5) a 的相反数的平方减去 5；

(6) a 的倒数；(7) a 的倒数与 b 的倒数的和；

(8) a 的平方的倒数加上 b 的平方的倒数；

(9) a 的倒数与 b 的相反的数的和；

(10) a 与 b 的和的倒数。

5、写出下列代数式：

(1) a 的绝对值；[解法举例：| a | ]

(2) a 的相反的数的绝对值；(3) a 的绝对值的相反的数；

(4) a 的倒数的绝对值；(5) a 的绝对值的倒数；

(6) a 与 b 的和的绝对值；(7) a 的绝对值与 b 的绝对值的和；

(8) a 减去 b 的 3 倍所得的差的绝对值；

(9) a 与 b 的积的绝对值；

(10) a 与 b 的积的相反的数的绝对值。

6、一个分数，分子是 x，分母比分子的 5 倍小 3，列出这个分数的代数式；列出另一个分子分母都比这个分数的分子分母小 1 的分数的代数式。【】

7、一个分数的分子是 x，分母比分子的平方小 6，列出这个分数的代数式；列出一个代数式表示这个分数的倒数。【】

8、一个分数的分母是 x，分子比分母的相反的数大 6，列出一个代数式表示另一个分数，它的分子比这个分数的分子大 3，它的分母等于这个分数的分母的平方。【】

9、如果一个人骑自行车每小时平均可行 a 公里，(1) 2 小时可行多少公里？(2) b 小时可行多少公里？(3)要行 50 公里需要多少小时？(4)要行 d 公里需要多少小时？【(1)2a，(2)ab，(3) 50/a，(4) d/a】

10、如果一辆汽车平均每小时行 a 公里，自行车平均每小时行 b 公里，(1)汽车与自行车同时行 3 小时，路程相差多少？(2)乘自行车行 2 小时后再乘汽车行 3 小时，一共行了多少路程？(3)汽车和自行车各行 d 公里，汽车比自行车快多少时间？【(1) 3a-3b(公里)，(2) 2b+3a(公里)，(3)(小时)】

11、一个正方形的一边长 a 厘米，(1)它的面积是多少平方厘米？(2)它的周长是多少厘米？【(1) a²，(2) 4a】

12、两个正方形的边长分别是 a 厘米与 b 厘米(a＞b)，(1)它们的面积一共多少？(2)它们的面积相差多少？(3)它们的周长一共多少？(4)它们的周长相差多少？（要注明单位）【(1) a²+b²平方厘米，(2) a²-b²平方厘米，(3) 4a+4b厘米，(4) 4a-4b厘米】