变上限定积分函数，简称积分上限函数；证明积分上限函数求导定理
牛顿361、变上限定积分函数，简称积分上限函数；证明积分上限函数求导定理
积分上限函数（百度百科）：设函数y=f（x）在区间[a，b]上可积，对任意x∈[a，b]，y=f（x）在[a，x] 上可积，且它的值与x构成一种对应关系（如图所示），称Φ（x）为变上限的定积分函数，简称积分上限函数。
…积、分、积分：见《牛顿353~358》…
…函、数、函数：见《欧几里得52》…
（…《欧几里得》：小说名…）
…∈：数学符号“属于”…见《牛顿303》…
（…符、号、符号：见《欧几里得160、161》…）
…关、系、关系：见《欧几里得75》…
…Φ：第21个希腊字母。读音：fài…见《牛顿359》…
…定、定积分：见《牛顿338》…
“可积”是什么意思？——网友提问
2017-12-08，庭院有几许：可积[kě jī]
解释：可积一般就是指：可积函数；
如果f（x）在[a，b]上的定积分存在，我们就说f（x）在[a，b]上可积。即f（x）是[a，b]上的可积函数。
可积函数：
数学上，可积函数是存在积分的函数。
…数、学、数学：见《欧几里得49》…
定义
…定、义、定义：见《欧几里得28》…
设函数f（x）在区间[a，b]上可积。
根据定积分对区间的可加性，有：对任意x（a≤x≤b），f（x）在[a，x]上也可积。
这时，称变上限定积分∫[a，x]f（t）dt为f（x）的积分上限函数，记为Φ（x），
即：
…性：1.物质所具有的性能；物质因含有某种成分而产生的性质：黏～。弹～。药～。碱～。油～。2.后缀，加在名词、动词或形容词之后构成抽象名词或属性词，表示事物的某种性质或性能：党～。纪律～。创造～。适应～。优越～。普遍～。先天～。流行～…见《欧几里得10》…
…∫：积分符号，为字母s的拉长…见《牛顿338》…
…d：differential（微分）首字母…
[differential（英语）：n.（名词）差别；差额；差价；（尤指同行业不同工种的）工资级差。
adj.（形容词）差别的；以差别而定的；有区别的。
——《牛顿321》
dx什么意思？？——网友提问
2019-09-07，想玩游戏的猫：d（x）代表对x求微分。
dy/dx 中的d是“微小的增量”的意思，也就是指微小的增量y除以微小的增量x。在函数中是，微分的意思。
dx就是对x的微分，是把增量细微化，dx就是很小很小的一个x。
——《牛顿3》]
当f（x）≧0时，Φ（x）在几何上表示为可以变动的曲边梯形的面积（图中的阴影部分）。
…几、何、几何：见《欧几里得28》…
定理
…定、理、定理：见《欧几里得2》…
设函数f（x）在区间[a，b]上连续，则积分上限函数Φ（x）=∫[a，x]f（t）dt，（a≤x≤b）在[a，b]上可导，并且Φ’（x）=f（x）。
…连、续、连续：见《欧几里得44》…
可导的含义是什么？——网友提问
2021-10-13，百度网友695eeef2：
就是：若f（x）在x0处连续，则当a趋向于0时，[f（x0+a）-f（x0）]/a存在极限，则称f（x）在x0处可导。
…极、限、极限：见《牛顿202~321》…
……
定理
设函数f（x）在区间[a，b]上连续，则积分上限函数Φ（x）=∫[a，x]f（t）dt，（a≤x≤b）在[a，b]上可导，并且Φ’（x）=f（x）。
证明：对于任意给定的x∈[a，b]，给x以增量△x，使得x+△x∈[a，b]，
…证、明、证明：见《欧几里得6》…
…△：读音是“德尔塔”。音标为/deltə/。
在物理学中，△常常作为变量的前缀使用，表示该变量的变化量，如：△t（时间变化量）、△T（温度变化量）、△X（位移变化量）、△v（速度变化量）等等…见《牛顿8》…
根据导数定义，得：Φ’（x）=lim（△x→0）[Φ（x+△x）-Φ（x）]/△x
由Φ（x）的定义及定积分对区间的可加性，有：
Φ（x+△x）-Φ（x）=∫[a，x+△x]f（t）dt-∫[a，x]f（t）dt=∫[x，x+△x]f（t）dt
再由定积分中值定理，得：
△Φ（x）=∫[x，x+△x]f（t）dt=f（ξ）△x，
…ξ：大写Ξ，小写ξ，是第十四个希腊字母，中文音译：克西。
小写ξ用于：数学上的随机变量…
{定积分中值定理：如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则在积分区间[a，b]上至少存在一个点ξ，使∫[a，b]f（x）dx=f（ξ）（b-a）。（a≤ξ≤b）
证明见《牛顿351》。}
其中，ξ在x和x+△x之间。
∴ Φ’（x）=lim（△x→0）[Φ（x+△x）-Φ（x）]/△x
=lim（△x→0）△Φ（x）/△x
=lim（△x→0）f（ξ）△x/△x
=lim（△x→0）f（ξ）
∵ f（x）连续
∴ lim（△x→0）f（ξ）=f（x）
即：Φ’（x）=f（x）
（∫[a，x]f（t）dt）’=f（x）
证毕。
这个定理说明，任何连续函数都有原函数存在，且积分上限函数Φ（x）=∫[a，x]f（t）dt 就是f（x）在[a，b]上的一个原函数。
上述定理也叫做原函数存在定理。
“定义一个变上限积分函数Φ（x）=∫[a，x]f（t）dt，让函数Φ（x） 获得增量△x，则对应的函数增量为：
△Φ（x）=Φ（x+△x）-Φ（x）
=∫[a，x+△x]f（t）dt-∫[a，x]f（t）dt
=∫[x，x+△x]f（t）dt （定积分对区间的可加性）
请看下集《牛顿362、证明牛顿-莱布尼茨公式》”
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