浅用一下垂径定理（2017课标Ⅲ圆锥曲线）

2022-08-27 17:58 作者:数学老顽童 0人读过 | 我要投稿

（2017课标Ⅲ，20）已知抛物线 $C$ ： $y%5E2%3D2x$ ，过点 $%5Cleft(%202%2C0%20%5Cright)%20$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $A$ 、 $B$ 两点，圆 $M$ 是以线段 $AB$ 为直径的圆.

（1）证明：坐标原点 $O$ 在圆 $M$ 上；

（2）设圆 $M$ 过点 $P%5Cleft(%204%2C-2%20%5Cright)%20$ ，求直线 $l$ 与圆 $M$ 的方程.

解：（1）设直线 $l$ 的方程为 $x%3Dmy%2B2$ ，

与抛物线 $C$ 联立，得 $y%5E2-2my-4%3D0$ ，

则 $y_1%2By_2%3D2m$ ， $y_1y_2%3D-4$ ，所以

$%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%09k_%7BOA%7D%5Ccdot%20k_%7BOB%7D%26%3D%5Cfrac%7By_1%7D%7Bx_1%7D%5Ccdot%20%5Cfrac%7By_2%7D%7Bx_2%7D%5C%5C%0A%09%26%3D%5Cfrac%7By_1%7D%7B%5Cfrac%7By_%7B1%7D%5E%7B2%7D%7D%7B2%7D%7D%5Ccdot%20%5Cfrac%7By_2%7D%7B%5Cfrac%7By_%7B1%7D%5E%7B2%7D%7D%7B2%7D%7D%5C%5C%0A%09%26%3D%5Cfrac%7B4%7D%7By_1y_2%7D%5C%5C%0A%09%26%3D%5Cfrac%7B4%7D%7B-4%7D%3D-1%5C%5C%0A%5Cend%7Baligned%7D$

所以 $OA%5Cbot%20OB$ ，

坐标原点 $O$ 在圆 $M$ 上.

（2）设 $M$ 的坐标为 $%5Cleft(%20x_0%2Cy_0%20%5Cright)%20$ ，

则 $y_0%3D%5Cfrac%7By_1%2By_2%7D%7B2%7D%3D%5Cfrac%7B2m%7D%7B2%7D%3Dm$ ，所以

$x_0%3Dmy_0%2B2%3Dm%5Ccdot%20m%2B2%3Dm%5E2%2B2$ ，

所以 $M$ 的坐标为 $%5Cleft(%20m%5E2%2B2%2Cm%20%5Cright)%20$ ，

记线段 $OP$ 的中点为 $N$ ，

易知 $N$ 的坐标为 $%5Cleft(%202%2C-1%20%5Cright)%20$ ，

依垂径定理可知： $k_%7BMN%7D%5Ccdot%20k_%7BOP%7D%3D-1$ ，

即 $%5Cfrac%7Bm-%5Cleft(%20-1%20%5Cright)%7D%7Bm%5E2%2B2-2%7D%5Ccdot%20%5Cfrac%7B-2%7D%7B4%7D%3D-1$ ，

整理得 $2m%5E2-m-1%3D0$ ，

解得 $%5Ccolor%7Bred%7D%7Bm%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D$ ，或 $%5Ccolor%7Bred%7D%7Bm%3D1%7D$ .

若 $%5Ccolor%7Bred%7D%7Bm%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D$ ， $l$ 的方程为 $x%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dy%2B2$ ，

即 $%5Ccolor%7Bred%7D%7B2x%2By-4%3D0%7D$ ，

$M$ 的坐标为 $%5Cleft(%20%5Cfrac%7B9%7D%7B4%7D%2C-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Cright)%20$ ，

$r%5E2%3D%5Cleft(%20%5Cfrac%7B9%7D%7B4%7D-0%20%5Cright)%20%5E2%2B%5Cleft(%20-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D-0%20%5Cright)%20%5E2%3D%5Cfrac%7B85%7D%7B16%7D$ ，

所以圆 $M$ 的方程为

$%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cleft(%20x-%5Cfrac%7B9%7D%7B4%7D%20%5Cright)%20%5E2%2B%5Cleft(%20y%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Cright)%20%5E2%3D%5Cfrac%7B85%7D%7B16%7D%7D$ ，如图