半角公式的几何证明

在高中数学中 我们会学三角函数 虽然其定义简单 但七大套公式能把人折磨许久 其中的半角公式可以通过二倍角公式证明(太简单力) 但有没有一种简单易懂的几何证法呢？ 你猜捏( 我们先以半角正弦公式为例 初中数学中的三角函数采用的是直角三角形定义 故我们先作一个Rt△ABC 其中AB=1,∠C=90°,∠A=α/2<45°

显然 我们需要在Rt△ABC中构造出大小为α的角 容易想到α=2·α/2 而一对等角又要构造等腰三角形 故作AB的垂直平分线 交AC于点D,连接BD

由垂直平分线的性质,得AD=BD 等边对等角,得∠ABD=∠A=α/2 由三角形的外角定理,得∠BDC=α 这样我们就构造出了大小为α的角 易得sin(α/2)=BD·sin α=BC 只需求出BC的值即可 设BC=x 易得AD=BD=x/sin α=xcsc α,CD=x/tan α=xcot α 由勾股定理,得AC²+BC²=AB²=1 (AD+CD)²+BC²=1 (xcsc α+xcot α)²+x²=1 x²csc²α+2x²csc αcot α+x²cot²α+x²=1 x²(csc²α+2csc αcot α+cot²α+1)=1 x²=1/(csc²α+2csc αcot α+cot²α+1) =sin²α/(1+2cos α+cos²α+sin²α) =(1-cos²α)/(2+2cos α) =(1+cos α)(1-cos α)/[2(1+cos α)] =(1-cos α)/2 x=±√[(1-cos α)/2] 余弦及正切同理可证