【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】我在原有“自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。

第一章一元一次方程和可以化为一元一次方程的分式方程  

§1-8列出分式方程来解应用题

【01】在§1-6里，我们已经学过列出一元一次方程来解应用题。在实际问题中，有时列出的方程往往不是整式方程，而是分式方程，那就得应用分式方程来解。

【02】下面我们看几个例子：

例1.某农具厂新购一台自动化机床。用自动化机床与旧机床同时加工一批零件，共花了 4.5 小时，已知旧机床单独工作需要 18 小时才能完成任务，自动化机床单独工作需要几小时能完成？自动化机床的效率是旧机床的几倍？

【解】设自动化机床单独工作，需要 x 小时才能完成任务，那末自动化机床每小时能完成任务的 1/x  。

        因为旧机床单独工作，需要 18 小时才能完成任务，所以它每小时能完成任务的 1/18  。

        因为两台机床同时工作，需要 4.5 小时，所以每小时能完成任务的 1/4.5＝2/9  。

        根据题意，列得方程是  。

        两边都乘以最简公分母 18x，得 18＋x＝4x  。

        解这个整式方程，－3x＝－18，∴ x＝6  。

        把 x＝6 代入整式 18x，它不等于 0，所以 x＝6 是原方程的根。

        因为旧机床做同样的工作，需要 18 小时，所以自动化机床的效率是旧机床的 3 倍。

        答：自动化机床单独工作，需要 6 小时才能完成任务；自动化机床的效率是旧机床的 3 倍。

例2.一个镟工加工 1500 个螺丝以后，由于改进了操作方法和工具，工作效率提高到原来的 2又1/2 倍，因此再车 1500 个螺丝时，较前提早 18 小时完成。前后两种方法，每小时各加工多少个螺丝？

【解】设镟工以前每小时能加工 x 个螺丝，那末加工 1500 个银丝，需要 1500/x 小时。

改进操作方法和工具后，根据题意，每小时能加工 (2又1/2)×x＝(5/2)x 个螺丝，那末加工 1500 个螺丝，需要小时。

        因为后一次比前一次提早 18 小时完成，所以得到方程  。

        就是，∴ x＝50  。

        把 x＝50 代入原方程，知道 x＝50 是原方程的根。

        把 x＝50 代入 (5/2)x，得 (5/2)x＝125  。

        答：镟工原来每小时能加工 50 个螺丝；改进后，每小时能加工 125 个螺丝。

【说明】在解列出的方程时，先把化成，这样，可以和分式 1500/x 有相同的分母，运算就可以简便。

例3.某人民公社离城市 50 公里。甲乘自行车从公社出发进城，出发 1 小时 30 分钟后，乙乘摩托车也从公社出发进城，结果乙比甲先到 1 小时。已知乙的速度是甲的速度的 2.5 倍，求甲、乙两人的速度。

【解】

        设甲的速度是每小时 x 公里，那末乙的速度是每小时 2.5x 公里；

        因为公社离城市 50 公里，所以甲从公社到城需要 50/x 小时，乙从公社到城需要 50/2.5x 小时。

        因为甲早出发 1 小时 30 分钟（即 1.5 小时），并且迟到 1 小时，所以从公社到城，甲比乙多花了 (1.5＋1) 小时。因此，可以列出方程  。

        就是  。

        两边都乘以 2x，得 100＝40＋5x  。

        解这个整式方程，得 x＝12  。

        把 x＝12 代入 2x，不等于0，所以 x＝12 是原方程的根。

        把 x＝12 代入 2.5x，得 2.5x＝2.5×12＝30  。

        答：甲的速度是每小时 12 公里，乙的速度是每小时 30 公里。

【说明】注意把时间单位化成同一单位，所以 1 小时 30 分钟化成 1.5 小时。

例4.一件工程，甲单独做，需要 20 天可以完成；乙单独做，需要 24 天；丙单独做，需要 30 天。如果三人合作，几天可以完成？

【解】设三人合作，需要 x 天可以完成，那末，每天可以完成全工程的 1/x  。

        甲每天可以完成全工程的 1/20；乙每天可以完成全工程的 1/24；丙每天可以完成全工程的 1/30  。

        根据题意，得  。就是 1/8＝1/x，∴ x＝8  。

        检验后，知道 x＝8 是原方程的根。

        答：三人合作，8 天可以完成。

【说明】  。先把这三个分数计算出来，可以简便，不要方程两边同时去分母。

习题1-8

1、一个车间加工 720 个零件，预计每天做 48 个，就能如期完成。现在要提前 5 天完成，每天应该做多少个？【72个】

2、国营农场一块地，用一架拖拉机来耕，4 天耕完一半，后来增添了一架新式的拖拉机，两架合作，1 天就耕完了其余的一半。新式拖拉机单独耕这块地，需要几天？新式拖拉机的效率是原来拖拉机的几倍？【2又2/3天，3倍】

3、沿河有两个城市，相距 180 公里，乘船顺水航行，4 小时可以到达，如果水流速度是每小时 8 公里，船在静水里每小时能行多少公里？逆水回来需要多少小时？【37公里/时，(6又6/29)小时】

4、轮船顺水航行 72 公里所需的时间和逆水航行 48 公里所需的时间相同。已知水流速度是每小时 2 公里，求轮船在静水中的速度。【10公里/时】

5、甲、乙两地相距 80 公里，一辆长途汽车从甲地开出 3 小时后，一辆小汽车也从甲地开出，结果小汽车比长途汽车迟 20 分钟到达乙地。已知小汽车和长途汽车的速度的比是3:1，求小汽车和长途汽车的速度。【小汽车60公里/时，公共汽车20公里/时】

6、甲、乙两个车工，同时分别车 1500 个螺丝.乙改进了操作方法，生产效率提高到等于甲的 3 倍，因此比甲少用 20 个小时完工。他们每小时各车多少个螺丝？【甲50个，乙150个】

7、甲、乙两个生产队共同耕完一块土地需要 4 天。如果由一个队单独来耕，那末甲队需要的天数等于乙队的 2 倍。求甲、乙两队单独耕完这块土地所需的天数。【甲12天，乙6天】

8、一件工程要在计划的日期内完成。如果甲单独做，刚好能够完成。如果乙单独做，就要超过计划完成日期 3 天。现在由甲、乙两人合作 2 天后，剩下的工程由乙单独做，刚好在计划日期完成.计划的日期是几天？[提示：计划日期的天数等于甲单独做所需的天数，所以可设甲单独做完这工程所需的天数是 x，那末乙单独做所需的天数是 x＋3]【6天】

9、总价是 36 元的甲种零件和，总价也是 36 元的乙种零件混合。混合后所得的零件，每件比甲种的少 0.3 元，而比乙种的多 0.2 元。求甲种零件和乙种零件每件的价格。【甲种1.5元，乙种1.0元】

10、一件工程，甲单独做，15 天可以完成；乙单独做，12 天可以完成；甲、乙、丙三人合做，4 天可以完成.丙单独做，几天可以完成？【10天】