【高等数学第18讲】函数的单调性与极值

第十八章 函数的单调性与极值
一、知识点
- 单调性的概念及判别法:01:45
- 定义:02:00
- 判别法:04:24
- 注解:
- 单调性是区间上的性质,要用导数在这一区间上的符号来判定,而不能用导数在某一点的符号来判定
- f'(x)>0,x属于(a,b)是f(x)在[a,b]上单调递增的充分不必要条件。13:29
- eg.y=x^3
- 推广的判别法:16:23
- 加入了导数等于0的情况,注意,等号仅在有限个点成立。
- 若函数在定义域内某区间单调,称该区间为单调区间。17:42
- 讨论单调性(求单调区间):18:60
- 方法:
- 求出导数为0的点(驻点)及不可导点
- 用上述点将定义域划分若干区间
- 判断f'(x)在上述每个区间的符号。从而得到f(x)在每个区间上的单调性。
- 单调区间之间用逗号连接
- 观察求出来的导数式,在画图判断f'(x)的符号时,只关注变号部分。29:28
- 把无定义的端点扣掉。32:23
- 极值点的概念、必要条件和充分条件:48:37
- 极值的定义:(费马引理那章讲过)49:09
- 极值点的必要条件:01:03:17
- x0是极值点=>x0要么是驻点要么是不可导点
- 驻点不一定是极值点,不可导点也不一定是极值点
- 判别法——充分条件:
- 第一充分条件:(应用范围最广)01:08:60
- 条件:y=f(x)在x0的某个去心邻域可导,且在x0处连续【不要求在x0处可导,但要求在x0处连续】
- 结论:
- 若x在x0的去心左邻域f'(x)>0,在x0的去心右邻域f'(x)<0,则x0是f(x)的一个极大值点
- 若x在x0的去心左邻域f'(x)<0,在x0的去心右邻域f'(x)>0。则x0是f(x)的一个极小值点
- 第二充分条件:01:23:09
- 条件:f(x)在x0处二阶可导,且f'(x0)=0, f''(x0)不等于0
- 结论:
- 当f''(x0)<0时,x0为极大值点
- 当f''(x0)>0时,x0为极小值点
- 第三充分条件:01:34:53
- 条件:若f'(x0)=f''(x0)=0,且直到某奇数阶导数都是0
- 结论:
- 当下一阶偶数导<0时,x0为极大值点
- 当下一阶偶数导>0时,x0为极小值点
- 最值的概念、与极值的联系与区别、最值的求法:(在闭区间连续函数性质那章有讲)01:45:09
- 最值的定义:(区别于极值的定义)01:45:43
- 注解:
- 极值与最值:
- 极值:邻域、局部
- 最值:区间、全局
- 极值不能够取在区间端点(因为端点处没有完整邻域)
- 最值与极值的联系:位于区间内部的最值点是极值点
- 求最值的方法:(求f(x)在[a,b]上的最值)01:52:43
- 求出f(x)在(a,b)内的所有的驻点和不可导点
- 求f(x)在上述点和端点处的函数值
- 上述函数值种,最大者为最大值,最小者为最小值
- 一个经常用到的结论:01:55:02
- f(x)在一个区间(开/闭,有限/无限)上仅有唯一的极值点,则它总是最值点
二、证明
- 证明单调性判别法:05:09
- 用拉格朗日中值定理
- 证明极值点的必要条件:(见费马引理章节)
- 证明判定极值点的第二充分条件:01:24:37
- 证明判定极值点的第三充分条件:01:36:23
- 用泰勒公式
三、计算
- 考察单调性的定义和判别法:09:53
- 不会做(判断抽象函数性质):33:16
- 求f(x)/x的导数,求出来不好判符号,因为分母恒正,所以只用对分子再次求导。
- 判断函数单调性:41:45
- 联系f,f'=>拉格朗日中值定理
- 判断函数在某点的性质(极值点定义):51:22
- 注意判断可导的双侧趋近是f(x)里的自变量x可以双侧趋近,不是分母可以双侧趋近。比如当x->0,f(1-cosx)-f(0)就不是双侧趋近。
- 判断函数在某点的性质(极值点定义):60:38
- 注意在判断函数在某点是否可导时,如果从已知推不出待求的,可以将待求的逆推出已知从而求得结果。
- 使用极值点的第二充分条件:01:27:12
- 步骤:
- 两端对x求导
- 令y=0,把得出来的式子代入原式求出点的坐标
- 对求导的式子二次求导,判断y''的正负
- 三次方程系数和为0=>x=1是它的一个根
- 恒成立问题:02:02:17
- 因为x>0所以刚开始在不等式两边乘x^3会更简便