【高等数学第18讲】函数的单调性与极值

第十八章 函数的单调性与极值

一、知识点

1. 单调性的概念及判别法：
   

   01:45

   
2. 定义：
   

   02:00

   
3. 判别法：
   

   04:24

   
4. 注解:
5. 单调性是区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用导数在某一点的符号来判定
6. f'(x)>0，x属于(a,b)是f(x)在[a,b]上单调递增的充分不必要条件。
   

   13:29

   
7. eg.y=x^3
8. 推广的判别法：
   

   16:23

   
9. 加入了导数等于0的情况，注意，等号仅在有限个点成立。
10. 若函数在定义域内某区间单调，称该区间为单调区间。
    

    17:42

    
11. 讨论单调性（求单调区间）：
    

    18:60

    
12. 方法：
13. 求出导数为0的点（驻点）及不可导点
14. 用上述点将定义域划分若干区间
15. 判断f'(x)在上述每个区间的符号。从而得到f(x)在每个区间上的单调性。
16. 单调区间之间用逗号连接
17. 观察求出来的导数式，在画图判断f'(x)的符号时，只关注变号部分。
    

    29:28

    
18. 把无定义的端点扣掉。
    

    32:23

    
19. 极值点的概念、必要条件和充分条件：
    

    48:37

    
20. 极值的定义：
    

    49:09

    
    （费马引理那章讲过）
21. 极值点的必要条件：
    

    01:03:17

    
22. x0是极值点=>x0要么是驻点要么是不可导点
23. 驻点不一定是极值点，不可导点也不一定是极值点
24. 判别法——充分条件：
25. 第一充分条件：
    

    01:08:60

    
    （应用范围最广）
26. 条件：y=f(x)在x0的某个去心邻域可导，且在x0处连续【不要求在x0处可导，但要求在x0处连续】
27. 结论：
28. 若x在x0的去心左邻域f'(x)>0，在x0的去心右邻域f'(x)<0，则x0是f(x)的一个极大值点
29. 若x在x0的去心左邻域f'(x)<0，在x0的去心右邻域f'(x)>0。则x0是f(x)的一个极小值点
30. 第二充分条件：
    

    01:23:09

    
31. 条件：f(x)在x0处二阶可导，且f'(x0)=0, f''(x0)不等于0
32. 结论：
33. 当f''(x0)<0时，x0为极大值点
34. 当f''(x0)>0时，x0为极小值点
35. 第三充分条件：
    

    01:34:53

    
36. 条件：若f'(x0)=f''(x0)=0,且直到某奇数阶导数都是0
37. 结论：
38. 当下一阶偶数导<0时，x0为极大值点
39. 当下一阶偶数导>0时，x0为极小值点
40. 最值的概念、与极值的联系与区别、最值的求法：
    

    01:45:09

    
    （在闭区间连续函数性质那章有讲）
41. 最值的定义：（区别于极值的定义）
    

    01:45:43

    
42. 注解：
43. 极值与最值：
44. 极值：邻域、局部
45. 最值：区间、全局
46. 极值不能够取在区间端点（因为端点处没有完整邻域）
47. 最值与极值的联系：位于区间内部的最值点是极值点
48. 求最值的方法：
    

    01:52:43

    
    （求f(x)在[a,b]上的最值）
49. 求出f(x)在(a,b)内的所有的驻点和不可导点
50. 求f(x)在上述点和端点处的函数值
51. 上述函数值种，最大者为最大值，最小者为最小值
52. 一个经常用到的结论：
    

    01:55:02

    
53. f(x)在一个区间（开/闭,有限/无限）上仅有唯一的极值点，则它总是最值点

二、证明

1. 证明单调性判别法：
   

   05:09

   
2. 用拉格朗日中值定理
3. 证明极值点的必要条件：（见费马引理章节）
4. 证明判定极值点的第二充分条件：
   

   01:24:37

   
5. 证明判定极值点的第三充分条件：
   

   01:36:23

   
6. 用泰勒公式

三、计算

1. 考察单调性的定义和判别法：
   

   09:53

   
2. 不会做（判断抽象函数性质）：
   

   33:16

   
3. 求f(x)/x的导数，求出来不好判符号，因为分母恒正，所以只用对分子再次求导。
4. 判断函数单调性：
   

   41:45

   
5. 联系f,f'=>拉格朗日中值定理
6. 判断函数在某点的性质（极值点定义）：
   

   51:22

   
7. 注意判断可导的双侧趋近是f(x)里的自变量x可以双侧趋近，不是分母可以双侧趋近。比如当x->0，f(1-cosx)-f(0)就不是双侧趋近。
8. 判断函数在某点的性质（极值点定义）：
   

   60:38

   
9. 注意在判断函数在某点是否可导时，如果从已知推不出待求的，可以将待求的逆推出已知从而求得结果。
10. 使用极值点的第二充分条件：
    

    01:27:12

    
11. 步骤：
12. 两端对x求导
13. 令y=0，把得出来的式子代入原式求出点的坐标
14. 对求导的式子二次求导，判断y''的正负
15. 三次方程系数和为0=>x=1是它的一个根
16. 恒成立问题：
    

    02:02:17

    
17. 因为x>0所以刚开始在不等式两边乘x^3会更简便