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【高等数学第18讲】函数的单调性与极值

2023-08-14 11:49 作者:BoobaBoss  | 我要投稿

第十八章 函数的单调性与极值

一、知识点

  1. 单调性的概念及判别法
    
    01:45
    
  2. 定义:
    
    02:00
    
  3. 判别法:
    
    04:24
    
  4. 注解:
  5. 单调性是区间上的性质,要用导数在这一区间上的符号来判定,而不能用导数在某一点的符号来判定
  6. f'(x)>0,x属于(a,b)是f(x)在[a,b]上单调递增的充分不必要条件
    
    13:29
    
  7. eg.y=x^3
  8. 推广的判别法:
    
    16:23
    
  9. 加入了导数等于0的情况,注意,等号仅在有限个点成立。
  10. 若函数在定义域内某区间单调,称该区间为单调区间。
    
    17:42
    
  11. 讨论单调性(求单调区间):
    
    18:60
    
  12. 方法:
  13. 求出导数为0的点(驻点)及不可导点
  14. 用上述点将定义域划分若干区间
  15. 判断f'(x)在上述每个区间的符号。从而得到f(x)在每个区间上的单调性。
  16. 单调区间之间用逗号连接
  17. 观察求出来的导数式,在画图判断f'(x)的符号时,只关注变号部分。
    
    29:28
    
  18. 把无定义的端点扣掉。
    
    32:23
    
  19. 极值点的概念、必要条件和充分条件
    
    48:37
    
  20. 极值的定义:
    
    49:09
    
    (费马引理那章讲过)
  21. 极值点的必要条件:
    
    01:03:17
    
  22. x0是极值点=>x0要么是驻点要么是不可导点
  23. 驻点不一定是极值点,不可导点也不一定是极值点
  24. 判别法——充分条件:
  25. 第一充分条件:
    
    01:08:60
    
    (应用范围最广)
  26. 条件:y=f(x)在x0的某个去心邻域可导,且在x0处连续【不要求在x0处可导,但要求在x0处连续】
  27. 结论:
  28. 若x在x0的去心左邻域f'(x)>0,在x0的去心右邻域f'(x)<0,则x0是f(x)的一个极大值点
  29. 若x在x0的去心左邻域f'(x)<0,在x0的去心右邻域f'(x)>0。则x0是f(x)的一个极小值点
  30. 第二充分条件:
    
    01:23:09
    
  31. 条件:f(x)在x0处二阶可导,且f'(x0)=0, f''(x0)不等于0
  32. 结论:
  33. 当f''(x0)<0时,x0为极大值点
  34. 当f''(x0)>0时,x0为极小值点
  35. 第三充分条件:
    
    01:34:53
    
  36. 条件:若f'(x0)=f''(x0)=0,且直到某奇数阶导数都是0
  37. 结论:
  38. 当下一阶偶数导<0时,x0为极大值点
  39. 当下一阶偶数导>0时,x0为极小值点
  40. 最值的概念、与极值的联系与区别、最值的求法
    
    01:45:09
    
    (在闭区间连续函数性质那章有讲)
  41. 最值的定义:(区别于极值的定义)
    
    01:45:43
    
  42. 注解:
  43. 极值与最值:
  44. 极值:邻域、局部
  45. 最值:区间、全局
  46. 极值不能够取在区间端点(因为端点处没有完整邻域)
  47. 最值与极值的联系:位于区间内部的最值点是极值点
  48. 求最值的方法:
    
    01:52:43
    
    (求f(x)在[a,b]上的最值)
  49. 求出f(x)在(a,b)内的所有的驻点和不可导点
  50. 求f(x)在上述点和端点处的函数值
  51. 上述函数值种,最大者为最大值,最小者为最小值
  52. 一个经常用到的结论:
    
    01:55:02
    
  53. f(x)在一个区间(开/闭,有限/无限)上仅有唯一的极值点,则它总是最值点

二、证明

  1. 证明单调性判别法
    
    05:09
    
  2. 用拉格朗日中值定理
  3. 证明极值点的必要条件:(见费马引理章节)
  4. 证明判定极值点的第二充分条件
    
    01:24:37
    
  5. 证明判定极值点的第三充分条件
    
    01:36:23
    
  6. 用泰勒公式

三、计算

  1. 考察单调性的定义和判别法
    
    09:53
    
  2. 不会做(判断抽象函数性质)
    
    33:16
    
  3. 求f(x)/x的导数,求出来不好判符号,因为分母恒正,所以只用对分子再次求导。
  4. 判断函数单调性
    
    41:45
    
  5. 联系f,f'=>拉格朗日中值定理
  6. 判断函数在某点的性质(极值点定义)
    
    51:22
    
  7. 注意判断可导的双侧趋近是f(x)里的自变量x可以双侧趋近,不是分母可以双侧趋近。比如当x->0,f(1-cosx)-f(0)就不是双侧趋近。
  8. 判断函数在某点的性质(极值点定义):
    
    60:38
    
  9. 注意在判断函数在某点是否可导时,如果从已知推不出待求的,可以将待求的逆推出已知从而求得结果。
  10. 使用极值点的第二充分条件
    
    01:27:12
    
  11. 步骤:
  12. 两端对x求导
  13. 令y=0,把得出来的式子代入原式求出点的坐标
  14. 对求导的式子二次求导,判断y''的正负
  15. 三次方程系数和为0=>x=1是它的一个根
  16. 恒成立问题
    
    02:02:17
    
  17. 因为x>0所以刚开始在不等式两边乘x^3会更简便

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