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命题人考我，我会了！！！耶✌

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1^a+2^a+...n^a=n^(a+1) /a+1 （a＞-1）n→∞

1^n+2^n+...+n^n＝en^n /e-1 n→∞

一·1^a+2^a+...n^a=n^(a+1) /a+1 （a＞-1）n→∞

1·证明（1）有如下方法

i)利用定积分定义 参考3:30

ii)利用stolz公式计算*/∞型极限

iii)利用级数与积分不等式放缩和夹逼准则

二·1^n+2^n+...+n^n＝en^n /e-1 n→∞

1·证明（2）核心思路：将级数倒序排列，方便放缩。

①∵∑（k=1到n）（k/n）^n=∑（k＝0到n-1）（n-k /n)^n 倒序排列

≤∑（k=0到n-1）e^(-k) ∑里面的函数两边取对数易证

＝e/ e-1 n→∞

②∵∑（k=1到n）（k/n）^n=∑（k＝0到n-1）（n-k /n)^n 倒序排列

≥∑（k＝0到N）（n-k /n)^n 丢掉部分尾巴项

＝e /e-1 让N→∞

综上所述，lim∑（k=1到n）（k/n）^n＝e /e-1

即(1^n+2^n+...+n^n)/n^n ＝e /e-1 n→∞