从一道初中竞赛题到数学的应用，看高考数学

最近看到有人做视频讲一道初中竞赛题：

计算√65-√63，结果保留两位小数。

我初中三年参加数学竞赛拿了三个铜牌，但这个题当时的我大概率不会做。但是现在学了高级的方法，碰巧是可以手算这个问题的。

铺垫（可以先看应用再回过头来看）：

在数值分析中常用到一类公式叫差分，也就是要求函数在某个点的导数值，不用解析式去求（往往解析式不可知），而是用这个点附近的一些函数值做简单的加减乘除计算去求。一个常用的一阶导数的公式是：

这个公式翻译一下就是：如果要计算函数f(x)在某一点x的一阶导数值，那么可以用点x+Δx和点x-Δx处的函数值作差，然后除以这两点之间x方向的距离2Δx。这个公式的几何意义就是，运用函数上某一点左右对称的两个点的割线的斜率近似替代中间这个点切线的斜率。

为什么这个公式是成立的呢？微积分里有个公式叫泰勒展开，可以用一系列函数及其导数值表示函数本身：

泰勒公式翻译一下就是：

一个函数f(x)在x=x0附近任何一点的函数值都可以写成f(x)在x0处的函数值f(x0)加上一系列f(x)的导函数在x0处的值乘以任何一点到x0的距离(x-x0)的乘方再乘以一个系数。这个公式的最后一项是个余项，是展开的误差。记号o表示这一项的大小的数量级跟紧跟着o的括号里的量相同。这个公式很灵活，可以依据所需要的精度来决定参与计算的项数。

那么f(x+Δx)和f(x-Δx)在x附近的泰勒展开分别是：

把两个展开式作差得到：

继续移项变形得：

所以有：

其中⑥的误差大小为⑤的最后两项之和，也就是o((Δx)^2)。所以差分精度为二阶，意思是每当Δx的大小乘以1/2的时候，误差项以乘以(1/2)^2的速度减小。所以Δx必须取小于1的值，否则经过乘方计算后，o((Δx)^2)会变得更大，从而不可被忽略，继而影响估算结果。

解题：

√65=√(64+1)，√63=√(64-1)
这可以看做是f(x)=√x在x=64附近的两点的函数值，但是Δx=1会导致误差过大不可控(Δx必须小于1，且越小近似程度越好)

所以√65=(√(1+1/64))*8，√63=(√(1-1/64))*8

可以构造函数f(x)=8√x，取Δx=1/64，则√65=f(1+Δx)，√63=f(1-Δx)

那么有(f(1+Δx)-f(1-Δx))/(2Δx)≈f'(1)

所以f(1+Δx)-f(1-Δx)≈f'(1)*(2Δx)

又有f'(x)=4/√x

所以f(1+Δx)-f(1-Δx)≈(4/√1)*(2*1/64)=1/8=0.125

讨论：

误差数量级≤o((Δx)^2)=o(0.000244140625)

用计算器算得√65-√63≈0.1250038，所以近似计算相对误差约为0.00304%

一个手算很复杂的问题，运用差分公式后，仅仅使用加减乘除和简单求导就能估算出来，且精确到小数点后五位，相对误差约为0.00304%。这在工程上已经是精确无比了。这就是高级方法的威力。绝大部分理工科到了本科及以上，涉及到的数学就是用高级方法简单直接解决高效问题。而现在的高考数学考的越来越难，对初等数学的技法的要求越来越高，这种导向除了有利于学习理论数学与理论物理的人以外，实在是本末倒置。