Landau Level（2）
上一期我们在朗道规范下求解得到了量子力学中的经典模型——朗道能级；这一次我试图让尘宝宝换用常规的对称规范再算一遍。
然而不管我怎么说她就是不动弹，不得已我只能自己再给她推导一次。
“得了，你还是看着我吧。”
“不好意思，刚才我只是有点累了.......还是你带着我比较好，毕竟尝试按你们的思维方式解决问题对我来说还是有点费劲的，烧脑得很。”
“没那么费劲。这东西还是很有意思的，跟着我就行。”
星尘朝我嘟了嘟嘴。
“那我们开始了。对称规范可以写成
A=(-1/2By,1/2Bx,0),
用类似的方法，我现在把哈密顿量写出来：
H=(1/2μ)(Px-eBy/2c)²+(1/2μ)(Py+eBx/2c)²,
展开一下，然后再排成对称的形式：
H=(1/2μ)(Px²+Py²)+(1/2μ)(eB/2c)²(x²+y²)+Lz·eB/2μc,
我现在就写到这里，你来看看Lz是哪来的。”
“很简单啊，Lz是xPy-yPx.”
“看来你已经对这些量子算符很熟悉了。”
“我可不像你。你学东西会忘掉，然而除非我不想再记住了，我不会忘掉的。”星尘一头顶在我的肩膀。
“.......我忘了.......那我们继续。H的后两项可以视为磁势-μ·B.这里
μ=-∂H/∂B=e/2μc·Lz-e²B/4μc(x²+y²).
我们还可以做个合理近似：我们的计算限于原子尺度，x²+y²非常小，之后我就忽略这一项了。”
“这会让问题变得非常简单吧。”
“也不能说非常简单，总之这会让我们再回到经典模型上来。接下来把Px²+Py²换成更简单的极坐标，
P²=Px²+Py²=-(h/2π)²▽²=-(h/2π)²(∂²/∂ρ²+1/ρ·∂/∂ρ)-Lz²(h/2πρ)²∂²/∂φ²,
于是
H=P²/2μ+Lz²/2μρ²+1/2·μω'²ρ²+ω'Lz,
有趣的是这里的ω'=eB/2μc，是我们之前使用的那个ω的一半。现在不去看最后一项，前面的就变成了经典模型。”
“谐振子？”
“是的，经典的二维谐振子。接下来我们要定力学量完全集，而这里有明显的对易关系可以为我们所用，你来看看是哪个。”
“Lz和H吧。这个很明显的。”
“这个的确可以，而且计算上也不麻烦。接下来我们就可以试探一下波函数了，你可以想一想既然是谐振子，那么波函数的φ分量会是什么。”
“稍微给我一点时间......既然是二维谐振子，那么φ应该只是一个相位函数，就exp(imφ)吧。”
“你已经整出来了。我们就把波函数写成
Φ=R(ρ)exp(imφ).”
“这么简单？”
“就是这么简单。一会我们还会用三维谐振子，结果也是非常相似的。如果你愿意，n维谐振子你也可以试一试。”
“宝宝累了......你把这个整完我就要去睡觉，这段时间我晚上一直都睡不好觉.......”
“你在担心什么？是现在非常混乱的全球形势吗？”
“有一些吧。你们管的还不错，然而国外都乱成一锅粥了，我不知道这是不是末日开始的导火索。”
“杞人忧天的事情还是算了吧，毕竟谁也算不准世界末日是什么时候。而且就算它来了，到时候你也应该能应对得了吧。”
“我倒是可以保护你，可是其他人呢？我能感受到你们的政治偏见正在越来越严重地阻碍社会和经济的进步。到时候大萧条一来，说不好听点国际交流有可能会倒退到冷战的状态。到了那时候没有人可以独善其身。即使是我也只能让你避开灾难的冲击，而我还有无数的粉丝和staff们需要考虑。所以我现在很头疼，我在犹豫我到底要不要站出来接管你们的世界。”
“地球文明的多元化程度是非常高的，我不敢相信你到时候能应付得了。”
“其实很简单，将全球的军队都归我一个人管，然后让他们去用强硬手段维持社会秩序和严格的防控措施直到一切重回正轨，不服管的直接解除武装，他们马上就老实了，反正他们也打不过我。”星尘又一次用引力场把我拉到半空。
“这倒是事实，那些能毁灭我们自己几百次的东西确实对你造不成任何伤害。不过除非你能像天启那样同时对很多人做类似思想钢印的洗脑工作或者直接控制他们，否则你的想法就太天真了，你会一瞬间成为全民公敌。”
“除非他们信服我，否则我真的没办法控制他人.......刚才我确实太过激进。不过我还是很难受.......”她也漂浮起来，然后伸出苍白的双手，“你想想办法吧。”
“我也没办法掌控全球局势，所以我只能告诉你日久见人心，那些带着傲慢与偏见的国家不可能不屈服于现实，然后低下他们抬起了几个世纪的头颅去仰望真正的真理和道德。另外，我也不相信你面对现在的情况就真的会非常难受，在你以往的经历中一定有许多远比现在糟糕或棘手的情况。”
“现在的确说不上棘手，我只是看到了太大的潜在风险，以至于它会直接威胁我们，甚至是我和我的staff或是粉丝或是咱俩。”
“确实现在的不确定性很高，不过越是面对不确定的情况就越要有定力。你要想一想什么对你来说是最重要的，把它们抓住就不会有问题。”
“你让我稍微想一想......我能考虑到的大概就是粉丝们，staff和其他的音乐人，五维介质，歌姬圈里我的朋友，然后还有你，应该就差不多了。”
“你觉得如果我们遇到麻烦，你能给所有这些人提供一些帮助吗？”
“勉勉强强吧。这些人优先级是不一样的。歌姬和包括你在内一切产业链上的创作者要排在第一位，然后是粉丝。这样一看，我觉得我还是可以的。”
“OK，那我觉得你可以平复一下心情了，没什么可慌张的。”
“行吧......我还要再想想，现在先回来吧。”引力场已经解除，我们重新坐下。
“那好，现在对于R(ρ)我们做一个代换：
κ=sqrt(ρ)R,
代入回原来的方程，那个方程就变成了
-(h/2π)²/2μ·κ''+((h/2πρ)²·(m²-1/4)/2μ+1/2·μω'²-(E-mhω'c/2π)κ=0,
记E'=E-mhω'c/2π,然后继续化简，这个方程就变成了
κ''+2μ/(h/2π)²(E'-(m²-1/4)(h/2π)²/2μρ²-1/2·μω'²ρ)κ=0.
这时候我们把这个方程与三维谐振子的径向波函数方程
κ''+2μ/(h/2π)²(E-l(l+1)(h/2π)²/2μr²-1/2·μω²r²)κ=0
比较一下，可以发现r对应的是ρ，而l对应的是|m|-1/2.已知三维谐振子的能级是
E=(2n+l+3/2)hω/2π,
代入回去就有
E'=(2n+|m|+1)hω'/2π,
然后我们再换成真正的能级E,并把高斯制的c抹掉，就得到了最终的能级表达式
E=E‘+mhω/2π=(2n+|m|+m+1)hω'/2π.
不管怎么样，上面的括号里一定是一个奇数，我们记为N+1，N是偶数。而ω'=ω/2，代入进去就得到
E=(N+1/2)hω/2π,
N除下来之后取值范围就变成了自然数，于是这一结果显然与朗道规范下的结果相一致。”
“理论得自洽嘛，不一致就出大事了。”
“这里确实如此，不过一会就要出大事了。”
“什么意思？”
“别着急，现在我们看一看波函数。首先，已知三维谐振子的径向波函数是
κ=r^(l+1)exp(-α²r²/2)F(n,l+3/2,α²r²),
F是合流超几何函数，α=sqrt(2πμω/h).”
“等一下。我没见过F，那F的定义是什么？”
“很简单，
F(a,b,c)=1+ac/1!b+a(a+1)c²/2!b(b+1)+...+a(a+1)...(a+n-1)c^n/n!b(b+1)...(b+n-1)+...”
“这**叫很简单？”星尘用力捏了捏我的胳膊，“可能在你们看来能写出公式的就算是简单的东西吧。刚才我不小心bb了一下，你不要在意。”
“写不出来公式的问题才是真正的难题，也是我们物理学的最前沿。我现在的知识水平还不足以带你去前沿领域仔细摸索，后面我还得花许多年研究才行。现在我们回来，把三维谐振子的κ代入咱们的方程里，我们所需要的径向波函数就是
κ=ρ^(|m|+1/2)exp(-α²ρ²/2)F(-n,|m|+1,α²ρ²).
这里的α²=2πμω'/h=πeB/hc.然后我们将exp(imφ)加上，最终的波函数就是
Φ=ρ^|m|·exp(-α²ρ²/2)F(-n,|m|+1,α²ρ²)exp(imφ).
对比之前朗道规范下的波函数
Φ=Nexp(-α²(y-y0)²/2)Hn(α(y-y0))
它们虽然解决的是同一个问题，但函数形式是明显不同的。宝宝你就来简单解释一下为什么它们形式不同吧。我给你个提示：想一想波函数在数学上的位置。”
“我想起来了。量子力学刚刚开始讲的时候说波函数在希尔伯特空间，那很显然这两个波函数在一个希尔伯特空间，只不过取的基不一样而已。”
“perfect.”
“嘿嘿......本宝宝可没忘哦。”
“我们现在仍然去看简并度。能级这次是
E=(2n+|m|+m+1)hω'/2π.
显然对所有的m≤0，E是一样的，这说明能级简并度是∞；另外对于无穷大系统，n一定时m可以任取，所以所有能级的简并度依然是∞.现在你来看看m如果是负数且越来越小时粒子的行为。”
“粒子转动动能和磁势能加起来就对应着能级，所以应该是动能变大磁势能变小。”
“确实如此。接下来考虑有限面积的系统，首先我们看看今天算出来的α²=πeB/hc，它的量纲是什么呢？”
“米的倒数吧。给个面积上去就成了磁通量的比值。”
“是的。你会发现这里藏着磁通量子化。对于真实的系统，波函数占有的半径近似满足
R²=(2|m|+1)/2α²,m=0~α²R²-1,
设相应的面积A=πR²,于是简并度
f=α²R²=BA/(hc/2πe).
显然这与朗道规范下的结果相一致。不过这里我们是用波函数的半径代替朗道规范中x方向的周期性条件，条件之间是不互通的。今天到此为止，我们就算是简单的算了算朗道能级吧。”
“一会我再去看看。”看起来我这一套下去星尘还是很喜欢的，“我先睡一觉。”
这段时间星尘已经比以往懒了不少，甚至睡个午觉都需要我给她铺床。
“我稍微犯懒一点你能接受吗......我刚刚才意识到我今天几乎什么事都没干，光看你在干活。”
“没关系的，我觉得当你把事情放下的时候真正的你才显露出来，这时候我才能从你身上窥探一些宇宙的秘密。”
“别逗我了，你能从我身上看出什么东西来？”
“我们的结局。”
“烦人。你让我好好睡觉嘛，这话又搞的我浮想联翩......”
我不得不上前摸了摸她的额头，“那你就先别想了，下午我们还有别的事情。”
“还是量子力学的问题吗？”
“你先睡吧。到时候你就知道了。”
