【数学基础Ep17】每天三道题（数学分析+解析几何+线性代数）

预备知识：

1. 收敛数列{an}极限为a，则an=a+ɑn，其中{ɑn}为一个无穷小；

2. 收敛数列必有界；

3. 有限个无穷小的和还是无穷小；

4. 有界数列乘以无穷小的积还是无穷小；

5. 设lim an=a，则lim（a1+a2+……+an）/n=a；

6. 设lim an=a，lim（a1+2a2+……+nan）/（1+2+……+n）=a；

7. 定比分点：在线段P1P2上求一点P，使得由P分成的两个有向线段P1P与PP2的量的比为定数λ（λ不为-1），即P1P/PP2=λ，则P为线段P1P2以λ为定比的分点，且OP=（OP1+λOP2）/（1+λ）——定比分点公式。

参考资料：

1. 《数学分析习题演练》（周民强 编著）

2. 《空间解析几何》（高红铸 王敬蹇 傅若男 编著）

3. 《高等代数习题集》（杨子胥 编）

数学分析——

例题（来自《数学分析习题演练（周民强 编著）》）——

设lim an=a，lim bn=b，求证：lim（a1bn+a2bn-1+……+anb1）/n=ab

证明：设an=a+ɑn，bn=b+βn，其中{ɑn}，{βn}为无穷小——

1. 根据定义，{ɑn}，{βn}为无穷小，即lim ɑn=lim βn=0；

2. 由1：lim（ɑ1+ɑ2+……+ɑn）/n=0，lim（β1+β2+……+βn）/n=0

3. （a1bn+a2bn-1+……+anb1）/n

   =[（a+ɑ1）（b+βn）+（a+ɑ2）（b+βn-1）+……+（a+ɑn）（b+β1）]/n

   =[nab+a（β1+β2+……+βn）+b（ɑ1+ɑ2+……+ɑn）+（ɑ1βn+ɑ2βn-1+……+ɑnβ1）]/n

   =ab+a（β1+β2+……+βn）/n+b（ɑ1+ɑ2+……+ɑn）/n+（ɑ1βn+ɑ2βn-1+……+ɑnβ1）/n；

4. 对（ɑ1βn+ɑ2βn-1+……+ɑnβ1）/n，{ɑn}为无穷小，则存在M，使得|ɑn|<=M，则

   0

   <=|（ɑ1βn+ɑ2βn-1+……+ɑnβ1）/n|

   <=（|ɑ1||βn|+|ɑ2||βn-1|+……+|ɑn||β1|）/n

   <=（M|βn|+M|βn-1|+……+M|β1|）/n

   =M（|β1|+|β2|+……+|βn|）/n，

   又lim M（|β1|+|β2|+……+|βn|）/n=Mlim|βn|=0，

   则lim（|ɑ1||βn|+|ɑ2||βn-1|+……+|ɑn||β1|）/n=0，

   且-lim（|ɑ1||βn|+|ɑ2||βn-1|+……+|ɑn||β1|）/n=0，

   -lim（|ɑ1||βn|+|ɑ2||βn-1|+……+|ɑn||β1|）/n

   <=lim （ɑ1βn+ɑ2βn-1+……+ɑnβ1）/n

   <=lim（|ɑ1||βn|+|ɑ2||βn-1|+……+|ɑn||β1|）/n，

   则lim（ɑ1βn+ɑ2βn-1+……+ɑnβ1）/n=0；

5. lim（a1bn+a2bn-1+……+anb1）/n

   =ab+lim a（β1+β2+……+βn）/n+lim b（ɑ1+ɑ2+……+ɑn）/n+lim（ɑ1βn+ɑ2βn-1+……+ɑnβ1）/n

   =ab+alim（β1+β2+……+βn）/n+blim（ɑ1+ɑ2+……+ɑn）/n+lim（ɑ1βn+ɑ2βn-1+……+ɑnβ1）/n

   =ab+0+0+0=ab.

解析几何——

例题（来自《空间解析几何（高红铸 王敬蹇 傅若男 编著）》）——

已知空间四边形ABCD.四点M，N，P，Q分别将AB，AC，DB，DC以同比分之，即AM/MB=AN/NC=DP/PB=DQ/QC，试证MNQP是平行四边形.

证明：设空间任取一点O，AM/MB=AN/NC=DP/PB=DQ/QC=λ——

1. 由定比分点公式OM=（OA+λOB）/（1+λ）；

2. 由定比分点公式ON=（OA+λOC）/（1+λ）；

3. MN

   =ON-OM

   =（OA+λOC）/（1+λ）-（OA+λOB）/（1+λ）

   =λBC/（1+λ）；

4. 同理：PQ=λBC/（1+λ）；

5. MN=PQ，MNQP是平行四边形。

高等代数——

例题（来自《高等代数习题集（杨子胥 编）》）——

设A，B为n阶方阵，且B=E+AB.证明：AB=BA.

证：

1. B=E+AB，则B-AB=E；

2. （E-A）B=E，即E-A与B互为逆方阵，所以B（E-A）=E；

3. B-BA=E，则B=E+BA；

4. 于是AB=BA.证毕。

到这里！