Scratch与数学的整合19

                            第19课        概率

一、预学提示

        我们前面学过了概率的定义。那我要想求一个事件的概率值，到底该怎么求呢？如果涉及到多个事件，我们又应该怎么把它们综合起来求其概率值呢？

二、学习目标

        1、利用概率的基本性质求各类事件的概率。

        2、实现用Scratch求综合性事件的概率。

三、探究新知

        1、首先看第1题：已知有5个水晶球。小明在收拾水晶球时，有2个水晶球一次性放回原位了。那么下次小明要再从原位一次性找到所有水晶球的概率是     。

        分析：为什么这道题会这么简单？是∵这道题要为下道题做铺垫。根据我们的生活经验可知，用完的东西要下次再找到，就得用完放回原位，否则下次很难再找到的。现在我们把自己联想到的情景回归到题目上，进而展开思考：假设有5个水晶球中有2个水晶球没弄丢，剩下的都弄丢了，那问题就转化成了问：下次能找到所有水晶球的概率是多少。用没弄丢的水晶球个数除以原有的水晶球的个数，即P（下次能找到所有水晶球）=2/5=0.4。故填0.4或2/5（不能填40%，∵概率不能用百分数表示）。那现在我要问“下次小明要再从原位一次性找到所有水晶球不能实现的概率是多少？”可以这样想：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率在0——1之间。这也就意味着你在玩一个游戏时，获胜概率为1时你必胜，获胜概率为0是你必败，其余情况你可能输也可能赢。那我们把1看成一个整体，把发生的那个0.4减掉，就是没发生的，故答案为1-0.4=0.6。结论：这里得出了一条概率的基本性质：1-事件发生的概率=事件没发生的概率（1-P=P！）。

        2、已知有2个红球和3个黄球，求这几个球分两种颜色放两箱里和混在一箱里取出一球是红球（取完不放回）的概率。

        小心这道题有陷井！我们把后面的句子拆开，会发现它实际上有两问：（1）求这几个球分两种颜色放两箱里取出一球是红球（取完不放回）的概率。（2）求这几个球混在一箱里取出一球是红球（取完不放回）的概率。首先看两箱的。之所以有陷井，就是∵我不知道哪箱里全是红球，哪箱里全是黄球而我每次取一球，无论我是从哪个箱里取的，取出后两个箱的球数都没变。像这样的事件，叫做“独立事件”，把两个事件的概率相加的到最终的概率和。我们把取出红球和取出黄球各归为两类事件，设事件A为“取出红球”，事件B为“取出黄球”，那么P（取出一球是红球）=P（A）+P（B）=P（A+B）=1/2+1/3=5/6。（1）有两种情况，（2）也应该有两种情况，问的同样是取出一球是红球的概率，那我们仍然设事件A为“取出红球”，事件B为“取出黄球”。既然是混在一起了，那就说明每取完一个球后，每减掉1的1个可能不是红球的就是黄球的，整体直接受到影响，像这样的事件，叫做“互斥事件”，把两个事件的概率相乘得到最终的概率积。那么答案就是P（取出一球是红球）=P（A）·P（B）=P（A·B）=（1/2）×（1/3）=1/6。结论：这里又得到两条概率的基本性质：独立事件的概率：P=P（A）+P（B）+……+P（n）=P（A+B+……+n）。互斥事件的概率：P=P（A）·P（B）·……·P（n）=P（A·B·……·n）。

四、流程图

        1、我们先来看“1-P=P！”的流程图是怎样的。

        首先程序开始。加入变量：白球、黑球及其总数量，并设该总数量的变量为白球的数量+黑球的数量。然后加入变量：取出的总数量。判断白球、黑球、取出的总数量是否全不包含小数点。如果全不包含小数点再判断取出的总数量是否大于黑球、白球的总数量，若判断为“是”则接下来用黑球、白球的总数量去除以取出的总数量算出取出的概率，算出后并判断该结果是否≤1，若判断为“是”则接下来加入变量“P（！A）”，并用1减去取出的概率算出最终结果，最后程序结束。

        2、我们再来看看互斥事件与独立事件的概率的求法是怎样编写流程图的。

        首先程序开始。第一步询问白球、黑球的数量及其个数。第二步：此时判断这些变量是否全部包含小数点，若判断为“是”，则再判断白球的数量＜白球取出的个数、黑球的数量＜黑球取出的个数，若同时为真则继续第三步判断，否则程序停止运行。第三步：判断白球取出的个数÷白球的数量+黑球取出的个数÷黑球的数量＞1是否为真，否则同样程序停止运行。若结果不为停止运行，则继续判断（白球取出的个数÷白球的数量）×（黑球取出的个数÷黑球的数量）＞1是否为真，若为“假”则继续第四步，否则还是程序停止运行。若结果不为停止运行则执行第四步：套用独立事件的概率公式求分箱取出的概率，以及套用互斥事件的概率求混箱取出的概率。最后程序结束。

五、变量信息

        1、执行角色1的程序要用到的变量：白球的数量，黑球的数量，黑球、白球的总数量，取出的总数量、取出的概率、P（！A）

         2、执行角色小女孩的程序要用到的变量：白球的数量、黑球的数量、白球取出的个数、黑球取出的个数、分箱取出的概率、混箱取出的概率、取出的总数量

六、代码示例

        1、先来看看执行角色1的脚本时所对应的代码吧。

        首先确定白球的数量、黑球的数量两事件各自的所发生个数。

当绿旗被点击

询问有多少个白球？

将白球的数量设为回答

询问有多少个黑球？

将黑球的数量设为回答

        而事情的答案只有一个，∴我们必须把白球的数量与黑球的数量的两种可能“相加”，那么“取出的数量”就变为“取出的总数量”。

将黑球、白球的总数量设为：白球的总数量+黑球的总数量

询问取出白球和黑球一共多少个

将取出的总数量设为回答

        无论事件发生的个数还是总可能数，都必须是整数，∴要判断是否前面所有执行的数据是否全包含小数点，若为“是”则进一步判断，由于概率不可能大于1，∴要比较取出的总数量与黑球、白球的总数量的大小。若“取出的总数量”＜1就可以求出最终的P（！A）。

如果白球的数量包含.不成立与黑球、白球的总数量包含.不成立与黑球的数量包含.不成立那么

如果取出的总数量＞黑球的总数量那么

将取出的概率设为：黑球、白球的数量/取出的总数量

说：“连接取出的概率是和取出的概率”

如果取出的概率＞1不成立那么

将P（！A）设为1-取出的概率

说：“连接P（！A）=和P（！A）”

     2、接下来在看看小女孩的脚本执行时所对应的代码吧。

        （0）：程序开始。

当绿旗被点击    （0）

       （1）——（8）首先确定白球、黑球各有多少个以及各取出多少个。

询问有多少个白球    （1）

将白球的数量设为回答    （2） 

询问有多少个黑球    （3）

将黑球的数量设为回答    （4）

询问取出多少个白球    （5）

将白球取出的个数设为回答    （6）

询问取出多少个黑球    （7）

将黑球取出的个数设为回答    （8）

        （9）：道理与前面说的一样，都是事件发生的可能数和总可能数都必须是正整数，要对前面的执行进行判断，判断有效才会执行后面的程序。

如果黑球的数量包含.不成立与白球取出的个数包含.不成立与黑球取出的个数包含.不成立与白球的数量包含.不成立那么    （9）

        （10）——（20）：“如果”模块判断为有效数据时，必然会继续执行。接下来就判断白球的数量＜白球取出的个数、黑球的数量＜黑球取出的个数的真假。由于代码只要有一个地方错，整个程序的代码就全错了。∴判断部分从（13）开始才判断概率和（积）是否为真。全不为真时套入公式求值。

 如果白球的数量＜白球取出的个数与黑球的数量＜黑球取出的个数那么    （10）←外层的如果那么

停止这个脚本    （11）←外层的停止

否则    （12）←外层的否定

如果白球取出的个数/白球的数量+黑球取出的个数/黑球取出的数量那么＞1    （13）←中间层的如果那么

停止这个脚本    （14）←中间层的停止

否则    （15）←中间层的否定

如果白球取出的个数/白球的数量×黑球取出的个数/黑球的数量＞1    （16）←内层的如果那么

停止这个脚本    （17） ←内层的停止  

否则    （18）←内层的否定

将分箱取出的概率设为：白球取出的个数/白球的数量+黑球取出的个数/黑球取出的数量    （19）

将混箱取出的概率设为：白球取出的个数×白球的数量×黑球取出的个数/黑球取出的数量    （20）

        （21）：这时已经知道了分箱取出和混箱取出黑球、白球的概率各自的列式求解过程了，那我们就可以作答语了。

说：“连接连接连接P（分箱取出黑球、白球）=和分箱取出的概率和P（混箱取出黑球、白球）=和混箱取出的概率”    （21）