策略

一元函数部分

你可以永远相信泰勒展开

    泰勒公式在求极限问题真的特别万能！但很多时候得先利用等价无穷小化简极限式子，上例题：

这道题分母使用泰勒展开：

因此

也就是

而分子使用等价无穷小即可：

因此

直接泰勒展开？那肯定不行，试着观察下，是不是分母可以用等价无穷小化简？

分子可以变形

故：

分别计算极限：

所以

等价无穷小可以使很多极限化繁为简

这样看公式是不是简单很多了呢？

一般x->a的极限我们都是转换成中间变量t->0来做，比如这里我们令t=x-1，则时，于是极限：

接下来为了凑出基本的等价无穷小公式，我们：

这是因为：

因此：

实在不行就一直“洛”下去

洛必达真的是…一种比较神奇的方法，用的好计算快，用的不好算到怀疑人生…

自从会等价无穷小和泰勒展开后我基本就不用洛必达了，我之前写过应对各种极限采用洛必达的方法：

有种情况你不得不用洛必达，那就是应对比较特殊的积分极限：

应对这种极限，第一步一般都是洛必达。但这道题不行，因为积分里含有这个因子，所以我们得把不含的因子提到积分外面，也就是：

然后洛必达：

数列极限

单调有界，则存在数列极限

数列极限的证明题经常考这个，我们来上道例题：

夹逼定理

将式子放缩：

又因为

所以

这是个隐式积分极限，需要做的就是利用定积分的定义来做：

 

然后用夹逼定理：

题型