很水的数学分析120：度量空间中的列紧集

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1.命题2.40。“紧闭紧”：紧致空间中任一闭集是紧集。

听直播时犯的糊涂，没弄清楚开覆盖本身是集族，本身并不是集族中集合的并，只不过是用这些集合的并的特点描述集族的性质。

2.命题2.41。Hausdorff空间中任一紧集是闭集。（逆否命题常用，直接推论度量空间）

但一般的拓扑空间中紧致集未必是闭集，例2.72（IR上的有限补拓扑）就是例子。

3.紧致性和连通性性质优良。

比如定理2.34显示，在连续映射下即可保持紧致性。

4.根据“1”，“2”，有命题2.42。

5.定理2.36。度量空间中集合紧致性和列紧性等价。

①必要性。

反证法。C的有限子覆盖C'中每个元素都是有限集，因此C'盖不住｛xn｝，但由于是子覆盖却能盖住K。

②充分性。

（ⅰ）Lebesgue数引理。反证法。假设不存在开集包含任何S，证明它假设不成立，就是说找到一个S可以被某个开集包含。根据列紧性先锚定某极限点ξ，开覆盖中必然存在包含ξ的开集，由于极限点的缘故，S必然跟这个开集相交非空，于是只要S直径取的够小，就能保证S在这个开集中。

（ⅱ）证明定理2.36的充分性。任取K的开覆盖C，构造D=｛Nε(x)：x∈K｝（ε=δ/2），Lebesgue数引理保证了若D存在有限子覆盖，则C中也可以找出相应的有限子覆盖。

现证明D中存在有限子覆盖。反证法。假设不存在有限子集族覆盖K，则可以凭此取出一个序列，任意两项的度量≥ε，故不存在收敛子列，即K不是列紧集，矛盾，得证。